Suponha que você esteja localizado na posição (1,1,3) da colina que tem o formato do gráfico da função z=5 y-x^2-y^2 e que o eixo positivo dos x aponta para o Leste e o eixo positivo dos y aponta para o Norte. Se você decidir seguir a direção noroeste, você estará subindo ou descendo a colina? Com que taxa?

Passo 1

O enunciado descreve uma colina dada por
z = f(x,y) = 5y - x^2 - y^2
e pede para saber se, ao partir do ponto (1,1,3) na direção noroeste, estamos subindo ou descendo, e com que taxa. O conteúdo necessário é derivada direcional, que se obtém pelo gradiente de f e pelo vetor unitário na direção escolhida.

Passo 2

Calculamos o vetor gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = l(-2x,;5-2yr)
No ponto (1,1) (projeção de (1,1,3) no plano xy),
nabla f(1,1) = (-2cdot1,;5-2cdot1) = (-2,;3)

Passo 3

Direção noroeste significa componente igual para Oeste (- x) e Norte ( + y). Um vetor nessa direção é vec v = (-1,1). Seu vetor unitário é
vec u = vec v|vec v| = 1raiz(-1)^2+1^2,(-1,1) = 1raiz2,(-1,1)

Passo 4

A derivada direcional de f em (1,1) na direção vec u é
Dvec uf(1,1) = nabla f(1,1)cdot vec u = (-2,3)cdot 1raiz2(-1,1) = (-2)(-1) + 3cdot1raiz2 = 5raiz2
Como esse valor é positivo, estamos subindo a colina.

Resposta

Você estará subindo a colina com taxa de subida igual a tfrac5raiz2 unidades de elevação por unidade de deslocamento.

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