Suponha que você foi contratado para avaliar se a velocidade média de percurso dos ônibus em um trecho da Avenida Bezerra de Menezes aumentou após implantação de uma faixa exclusiva de ônibus, no horário das 08:00 às 09:30 de um dia útil, que corresponde ao período com maior volume de ônibus num dia útil. Para verificar essa hipótese, sua equipe coletou uma amostra antes e outra após a implantação, no horário de interesse em um dia útil. Segue na tabela abaixo um resumo dos dados coletados.
Amostra
N
Média
Mediana
Desvio Padrão
Antes
20
18,5
18,9
5,4
Depois
25
22,7
22,3
3,1
a)
Utilize um teste de hipóteses com nível de significância de
para realizar a sua análise. Explicite as hipóteses nula e alternativa, o resultado do teste e a conclusão da sua análise. Explicite as premissas.
Amostra | N | Média
|
Mediana
|
Desvio Padrão
|
Antes | 20 | 18,5 | 18,9 | 5,4 |
Depois | 25 | 22,7 | 22,3 | 3,1 |
Passo 1
Então, o que a questão pede? A gente quer saber se a velocidade média dos ônibus aumentou depois de colocar uma faixa exclusiva, comparando duas amostras (antes e depois) no mesmo horário. Isso é um problema de teste de hipóteses para duas médias independentes com variâncias desconhecidas. Vamos usar o teste t de Student (mais precisamente o modelo de Welch, que não assume variâncias iguais).
O que vamos precisar:
- As estatísticas das duas amostras: tamanhos, médias e desvios-padrão.
- Formular as hipóteses nula e alternativa.
- Calcular a estatística t de Welch.
- Encontrar o valor crítico (ou p-valor) para α=5% num teste unilateral à direita.
- Checar as premissas (independência e normalidade razoável ou tamanhos médios).
Passo 2
Hipóteses e premissas:
- Hipótese nula
(não houve aumento). - Hipótese alternativa
(houve aumento).
Premissas do teste t de Welch:
- As duas amostras são independentes.
- Cada população (antes e depois) é aproximadamente normal, ou como temos
e , vale razoavelmente o TCL (Teorema do Limite Central).
Passo 3
Vamos calcular a estatística de teste
onde
(antes)
(depois)
Calculemos passo a passo:
- Variâncias amostrais / tamanhos:
- Soma e raiz:
- Diferença de médias:
Logo
O grau de liberdade aproximado (fórmula de Welch) dá cerca de 29, mas a gente só precisa do valor crítico aproximado.
Passo 4
Para α=0,05 em teste unilateral à direita e
, o valor crítico é
.
Como nosso é bem maior que
, a gente rejeita
.
Como nosso
Isso significa que, ao nível de 5%, há evidência de que a velocidade média dos ônibus aumentou após a implantação da faixa exclusiva.
Resposta
Rejeitamos
(t = 3,10 > 1,70) e concluímos, com 5% de significância, que houve aumento na velocidade média dos ônibus após a implantação da faixa exclusiva.