(4,0) Suponha que você foi contratado para avaliar se a velocidade média de percurso dos ônibus em um trecho da Avenida Bezerra de Menezes aumentou após implantação de uma faixa exclusiva de ônibus, no horário das 08:00 às 09:30 de um dia útil, que corresponde ao período com maior volume de ônibus num dia útil. Para verificar essa hipótese, sua equipe coletou uma amostra antes e outra após a implantação, no horário de interesse em um dia útil. Segue na tabela abaixo um resumo dos dados coletados.
Amostra N Média |c|c|c|c|c| hline Amostra & N & Média $(km / h)$ & Mediana $(km / h)$ & Desvio Padrão $(km / h)$ hline Antes & 20 & 18,5 & 18,9 & 5,4 hline Depois & 25 & 22,7 & 22,3 & 3,1 hline Mediana (2,0) Desvio Padrão 5%
Antes 20 18,5 18,9 5,4
Depois 25 22,7 22,3 3,1
a) Utilize um teste de hipóteses com nível de significância de para realizar a sua análise. Explicite as hipóteses nula e alternativa, o resultado do teste e a conclusão da sua análise. Explicite as premissas.

Passo 1

Então, o que a questão pede? A gente quer saber se a velocidade média dos ônibus aumentou depois de colocar uma faixa exclusiva, comparando duas amostras (antes e depois) no mesmo horário. Isso é um problema de teste de hipóteses para duas médias independentes com variâncias desconhecidas. Vamos usar o teste t de Student (mais precisamente o modelo de Welch, que não assume variâncias iguais).
O que vamos precisar:
  • As estatísticas das duas amostras: tamanhos, médias e desvios-padrão.
  • Formular as hipóteses nula e alternativa.
  • Calcular a estatística t de Welch.
  • Encontrar o valor crítico (ou p-valor) para α=5% num teste unilateral à direita.
  • Checar as premissas (independência e normalidade razoável ou tamanhos médios).

Passo 2

Hipóteses e premissas:
  • Hipótese nula (não houve aumento).
  • Hipótese alternativa (houve aumento).
Premissas do teste t de Welch:
  1. As duas amostras são independentes.
  2. Cada população (antes e depois) é aproximadamente normal, ou como temos e , vale razoavelmente o TCL (Teorema do Limite Central).

Passo 3

Vamos calcular a estatística de teste
t ;=;bar x2 - bar x1raizs1^2n1 + s2^2n2
onde
s1^2n1 = 5,4^220 = 29,1620 = 1,458, s2^2n2 = 3,1^225 = 9,6125 = 0,3844 (antes)
raiz1,458 + 0,3844 = raiz1,8424 approx 1,357 (depois)
Calculemos passo a passo:
  1. Variâncias amostrais / tamanhos:
t = 4,21,357 approx 3,096
  1. Soma e raiz:
  1. Diferença de médias:
Logo
O grau de liberdade aproximado (fórmula de Welch) dá cerca de 29, mas a gente só precisa do valor crítico aproximado.

Passo 4

Para α=0,05 em teste unilateral à direita e , o valor crítico é .
Como nosso é bem maior que , a gente rejeita .
Isso significa que, ao nível de 5%, há evidência de que a velocidade média dos ônibus aumentou após a implantação da faixa exclusiva.

Resposta

Rejeitamos (t = 3,10 > 1,70) e concluímos, com 5% de significância, que houve aumento na velocidade média dos ônibus após a implantação da faixa exclusiva.

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