Suponha que você foi o(a) engenheiro(a) responsável pelo laboratório de materiais contratado para averiguar se o concreto utilizado na obra tem a resistência exigida em projeto. O calculista que projetou a estrutura de concreto especificou que concreto com resistência média inferior a 37 Mpa não deve ser utilizado na obra. O engenheiro da obra passou essa diretriz para a usina de concreto e contratou você para fazer análise de 20 corpos de prova (CP) (ver dados abaixo).
36,1
36,0
36,8
38,1
35,1
36,5
36,0
37,0
37,3
35,8
35,3
37,7
36,9
37,3
36,7
35,4
34,9
35,8
36,4
35,9
b)
Avalie se o concreto deve ser rejeitado, utilizando um teste de hipóteses, com
de nível significância. Explicite: as hipóteses nula e alternativa; o gráfico da curva (normal ou t-student) contendo as regiões de rejeição e de não rejeição da hipótese nula; o resultado do teste; a conclusão da sua análise; e as premissas da sua análise.
36,1 | 36,0 | 36,8 | 38,1 | 35,1 |
36,5 | 36,0 | 37,0 | 37,3 | 35,8 |
35,3 | 37,7 | 36,9 | 37,3 | 36,7 |
35,4 | 34,9 | 35,8 | 36,4 | 35,9 |
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. O projetista pediu que o concreto usado tenha resistência média pelo menos 37 MPa. Você testou 20 corpos de prova e anotou os valores. A ideia é usar um teste de hipótese para ver se a resistência média real é menor que 37 MPa, ao nível de significância de 5%. O conteúdo aqui é o teste t de Student para média, quando o desvio padrão populacional é desconhecido. Vamos precisar:
- Formular hipóteses;
- Checar as premissas;
- Calcular média e desvio amostral;
- Calcular a estatística t;
- Comparar com o valor crítico e fazer o gráfico;
- Tirar a conclusão.
Passo 2
Hipóteses e teoria do teste t
- Hipótese nula (H₀): a resistência média é igual a 37 MPa.
H₀: μ = 37 - Hipótese alternativa (H₁): a resistência média é menor que 37 MPa.
H₁: μ < 37
Como não sabemos o σ da população, usamos a distribuição t de Student com n–1 graus de liberdade. O nível de significância é α = 0,05 e o teste é a cauda esquerda, pois a gente quer ver se μ < 37.
Passo 3
Premissas
- As 20 medições são independentes.
- A resistência do concreto, na população, segue distribuição aproximadamente normal.
Se essas duas premissas valem, podemos usar o teste t.
Passo 4
Cálculo da média e do desvio-padrão amostral
Seja as 20 resistências. A média amostral é
Seja
O desvio amostral
vem de
Passo 5
Estatística de teste, valor crítico e gráfico
A estatística t é
A estatística t é
Graus de liberdade:
.
Para α=0,05 num teste de cauda esquerda, o ponto crítico é
Para α=0,05 num teste de cauda esquerda, o ponto crítico é
Regiões no gráfico (distribuição t de Student com 19 gl):
• Rejeição de H₀ se .
• Não rejeita se .
• Rejeição de H₀ se
• Não rejeita se
Esquematicamente:
|–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––|
Rejeição Não rejeição
← t < –1,729 –1,729 ≤ t < +∞
↑
t_obs = –3,47
Passo 6
Conclusão do teste
Como cai na região de rejeição (
), a gente rejeita H₀ ao nível de 5%. Ou seja, há evidência estatística de que a resistência média do concreto é menor que 37 MPa.
Como
Resposta
O concreto deve ser rejeitado, porque o teste t (com
e
) mostra rejeição de H₀, indicando resistência média inferior a 37 MPa.