Suponha que você foi o(a) engenheiro(a) responsável pelo laboratório de materiais contratado para averiguar se o concreto utilizado na obra tem a resistência exigida em projeto. O calculista que projetou a estrutura de concreto especificou que concreto com resistência média inferior a 37 Mpa não deve ser utilizado na obra. O engenheiro da obra passou essa diretriz para a usina de concreto e contratou você para fazer análise de 20 corpos de prova (CP) (ver dados abaixo).
36,1
36,0
36,8
38,1
35,1
36,5
36,0
37,0
37,3
35,8
35,3
37,7
36,9
37,3
36,7
35,4
34,9
35,8
36,4
35,9
a)
Faça uma estimativa intervalar da média da variável em análise, com
de grau de confiança. Com base neste Intervalo você sugere que o concreto seja utilizado na obra? Explicite as premissas da sua análise.
36,1 | 36,0 | 36,8 | 38,1 | 35,1 |
36,5 | 36,0 | 37,0 | 37,3 | 35,8 |
35,3 | 37,7 | 36,9 | 37,3 | 36,7 |
35,4 | 34,9 | 35,8 | 36,4 | 35,9 |
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos 20 medidas de resistência (em MPa) de corpos de prova de concreto. O projetista pede que a resistência média seja pelo menos 37 MPa, senão o concreto não pode ser usado. A gente vai estimar um intervalo de confiança de 90% para a média da resistência e, com base nele, decidir se rola usar esse concreto.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Cálculo de média amostral e desvio-padrão amostral.
- Intervalo de confiança para média quando a variância é desconhecida (usamos t de Student, pois n=20 é pequeno).
- Premissas: amostras independentes e vêm de população aproximadamente normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral
e o desvio‐padrão amostral
.
Dados
,
$$\bar x = \frac1{20}\sum_{i=1}^{20}x_i,\quad
s = \sqrt{\frac{1}{20-1}\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)^2}.$$
Somando as 20 observações dá
, então
E fazendo o somatório dos quadrados dos desvios, obtemos
Passo 3
O intervalo de confiança de 90% para a média, quando a variância é desconhecida, é
onde
Então o erro máximo é
Logo o intervalo de confiança é
$$36{,}35 \pm 0{,}338
;\Longrightarrow; (36{,}01,;36{,}69)\ MPa.$$
Passo 4
Interpretando: com 90% de confiança a resistência média real está entre 36,01 MPa e 36,69 MPa. O projetista exige pelo menos 37 MPa. Como todo o intervalo fica abaixo de 37, não dá pra garantir que a média seja ≥37.
Resposta
Intervalo de confiança de 90% para a resistência média:
Conclusão: não recomendo usar esse concreto, pois não atinge a resistência mínima de 37 MPa.