(3,0) Suponha que você foi o(a) engenheiro(a) responsável pelo laboratório de materiais contratado para averiguar se o concreto utilizado na obra tem a resistência exigida em projeto. O calculista que projetou a estrutura de concreto especificou que concreto com resistência média inferior a 37 Mpa não deve ser utilizado na obra. O engenheiro da obra passou essa diretriz para a usina de concreto e contratou você para fazer análise de 20 corpos de prova (CP) (ver dados abaixo).
36,1 36,0 36,8 38,1 35,1
36,5 36,0 37,0 37,3 35,8
35,3 37,7 36,9 37,3 36,7
35,4 34,9 35,8 36,4 35,9
a) lllll 36,1 & 36,0 & 36,8 & 38,1 & 35,1 36,5 & 36,0 & 37,0 & 37,3 & 35,8 35,3 & 37,7 & 36,9 & 37,3 & 36,7 35,4 & 34,9 & 35,8 & 36,4 & 35,9 Faça uma estimativa intervalar da média da variável em análise, com (1,0) de grau de confiança. Com base neste Intervalo você sugere que o concreto seja utilizado na obra? Explicite as premissas da sua análise.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos 20 medidas de resistência (em MPa) de corpos de prova de concreto. O projetista pede que a resistência média seja pelo menos 37 MPa, senão o concreto não pode ser usado. A gente vai estimar um intervalo de confiança de 90% para a média da resistência e, com base nele, decidir se rola usar esse concreto.
Conteúdo envolvido:
  • Cálculo de média amostral e desvio-padrão amostral.
  • Intervalo de confiança para média quando a variância é desconhecida (usamos t de Student, pois n=20 é pequeno).
  • Premissas: amostras independentes e vêm de população aproximadamente normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral bar x e o desvio‐padrão amostral s.
Dados x1,dots,x20,
$$\bar x = \frac1{20}\sum_{i=1}^{20}x_i,\quad
s = \sqrt{\frac{1}{20-1}\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)^2}.$$
Somando as 20 observações dá bar x = 120sumi=1^20xi, s = raiz120-1sumi=1^20(xi-bar x)^2, então
sum xi=727,0
E fazendo o somatório dos quadrados dos desvios, obtemos bar x = 727,020 = 36,35 MPa, logo
sum (xi-bar x)^2 = 14,55

Passo 3

O intervalo de confiança de 90% para a média, quando a variância é desconhecida, é
bar x pm talpha/2,;n-1,sraiz n,
onde alpha=0,10 (pois 1–0{,}10=0{,}90) e t0,05,19approx1,729.
Então o erro máximo é
E = 1,729;0,875raiz20 approx 1,729;0,8754,472 approx 0,338
Logo o intervalo de confiança é
$$36{,}35 \pm 0{,}338
;\Longrightarrow; (36{,}01,;36{,}69)\ MPa.$$

Passo 4

Interpretando: com 90% de confiança a resistência média real está entre 36,01 MPa e 36,69 MPa. O projetista exige pelo menos 37 MPa. Como todo o intervalo fica abaixo de 37, não dá pra garantir que a média seja ≥37.

Resposta

Intervalo de confiança de 90% para a resistência média:
(36,01,;36,69) MPa
Conclusão: não recomendo usar esse concreto, pois não atinge a resistência mínima de 37 MPa.

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