Suponha que você pague com uma cédula de 50,00 \mathrm{R} $3,00$ e receba de troco 11 cédulas, sendo algumas de 2 reais, algumas de 5 reais e outras de 10 reais. Quantas notas de cada valor você recebeu?

Passo 1

O enunciado diz que o chocolate custa R$3,00, você paga com R$50,00 e recebe R$47,00 de troco em 11 notas de R$2,00, R$5,00 e R$10,00. O conteúdo é resolver um sistema diofantino para achar quantas notas de cada valor.

Passo 2

Definimos
;x= número de notas de R$2,00,
;y= número de notas de R$5,00,
;z= número de notas de R$10,00.
Como há 11 notas,
x + y + z = 11
e o valor total de troco é
2x + 5y + 10z = 47

Passo 3

Isolamos x na primeira equação:
x = 11 - y - z
Substituindo em 2x + 5y + 10z = 47 resulta
2(11 - y - z) + 5y + 10z = 47

Passo 4

Simplificando:
22 - 2y - 2z + 5y + 10z = 47
22 + 3y + 8z = 47
3y + 8z = 25
Para y inteiro, 25 - 8z deve ser múltiplo de 3, ou seja
25 - 8z equiv 0 pmod3 Longrightarrow z equiv 2 pmod3

Passo 5

Testando z=2 (primeiro valor não-negativo congruente a 2 mod 3) temos
y = 25 - 8cdot23 = 3,
x = 11 - 3 - 2 = 6
Valores maiores de z dão y<0, logo esta é a única solução inteira não-negativa.

Resposta

Você recebeu 6 notas de R$2,00, 3 notas de R$5,00 e 2 notas de R$10,00.

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