Verifique que:
dd x[x arctg x-12 ln (1+x^2)]=arctg x

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos que a derivada da função
F(x)=xarctg x-12lnl(1+x^2r)
é exatamente arctg x. Para isso, vamos usar a regra do produto na primeira parcela e a regra da cadeia na segunda.

Passo 2

Calculamos a derivada de xarctg x pela regra do produto. Como ddx(x)=1 e ddx(arctg x)=11+x^2, temos
ddxl[xarctg xr] =1cdotarctg x + xcdot11+x^2 =arctg x + x1+x^2

Passo 3

Agora derivamos -tfrac12ln(1+x^2) pela regra da cadeia. A derivada de ln(1+x^2) é tfrac2x1+x^2, logo
ddxl[-tfrac12ln(1+x^2)r] =-tfrac12cdot2x1+x^2 =-x1+x^2

Passo 4

Somando os dois resultados, cancelam-se os termos com tfracx1+x^2 e sobra
F'(x) =l(arctg x + x1+x^2r) -x1+x^2 =arctg x

Resposta

arctg x

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