Calcule as integrais definidas:
integral3 pi4^5 pi4 sec x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral3pi4^5pi4sec x,dx
O conteúdo principal aqui é encontrar a antiderivada de sec x (integração de função trigonométrica) e avaliar nos limites dados.

Passo 2

Antes de tudo, precisamos checar se sec x é contínua em l[tfrac3pi4,tfrac5pi4r]. Como
sec x=1cos x,
eventuais descontinuidades ocorr-
rem onde cos x=0, isto é, em x=tfracpi2+kpi. No nosso intervalo tfrac3pi4approx2,36 e tfrac5pi4approx3,93, não há pontos do tipo tfracpi2+kpi, logo sec x é contínua ali e podemos usar cálculo de primitiva normalmente.

Passo 3

Sabemos que uma antiderivada de sec x é
integral sec x,dx = lnl|sec x + tan xr| + C
Essa fórmula decorre do truque de multiplicar numerador e denominador por sec x + tan x e reconhecer uma derivada de logaritmo.

Passo 4

Agora, aplicamos a primitiva nos limites. Definindo
F(x)=lnl|sec x + tan xr|,
temos
integral3pi4^5pi4sec x,dx = Fl(tfrac5pi4r) - Fl(tfrac3pi4r)
Calculemos cada termo:
Para x=tfrac5pi4:
cosl(tfrac5pi4r)=-tfracraiz22, sinl(tfrac5pi4r)=-tfracraiz22,
secl(tfrac5pi4r)= -raiz2, tanl(tfrac5pi4r)=sincos=1,
sec x + tan x = -raiz2 + 1, l|sec x + tan xr| = raiz2 - 1,
Fl(tfrac5pi4r) = lnl(raiz2 - 1r)
Para x=tfrac3pi4:
cosl(tfrac3pi4r)=-tfracraiz22, sinl(tfrac3pi4r)=tfracraiz22,
secl(tfrac3pi4r)=-raiz2, tanl(tfrac3pi4r)=-1,
sec x + tan x = -raiz2 - 1, l|sec x + tan xr| = raiz2 + 1,
Fl(tfrac3pi4r) = lnl(raiz2 + 1r)

Passo 5

Subtraindo,
integral3pi4^5pi4sec x,dx = lnl(raiz2 - 1r) ;-;lnl(raiz2 + 1r) = ln!l(raiz2 - 1raiz2 + 1r)
Para simplificar ainda mais, note que
raiz2 - 1raiz2 + 1 = (raiz2 - 1)^2(raiz2 + 1)(raiz2 - 1) = 2 - 2raiz2 +12-1 =3 - 2raiz2,
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ln!l(raiz2 - 1raiz2 + 1r) = lnl(3 - 2raiz2r)

Resposta

integral3pi4^5pi4sec x,dx = lnl(3 - 2raiz2r)

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