Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento você prefere?
- Um milhão de reais no fim do mês;
- Um centavo de real no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral,
centavos de real no
-ésimo dia.
Passo 1
O enunciado nos pede para escolher entre receber R$ 1 000 000,00 no final de um mês de 30 dias ou receber diariamente uma quantia que dobra a cada dia, começando em 1 centavo no dia 1 até 2^{n-1} centavos no dia n. O conteúdo aqui é soma de progressão geométrica e comparação de valores futuros.
Passo 2
A sequência de pagamentos diários é uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo é a_{1}=1 centavo e razão r=2, pois a quantia dobra a cada dia. Para uma PG finita de n termos, a soma S_{n} em centavos é dada por:
[ S_{n} = a_{1} \frac{r^{n}-1}{r-1} ]
[ S_{n} = a_{1} \frac{r^{n}-1}{r-1} ]
Passo 3
No nosso caso, n=30, a_{1}=1 e r=2, logo a soma em centavos é:
[ S_{30} = 1 \cdot \frac{2^{30}-1}{2-1} = 2^{30}-1 ]
[ S_{30} = 1 \cdot \frac{2^{30}-1}{2-1} = 2^{30}-1 ]
Passo 4
Calculando 2^{30}:
[ 2^{30} = 1,073,741,824 ]
[ 2^{30} = 1,073,741,824 ]
Passo 5
Portanto a soma em centavos é 1,073,741,824 - 1 = 1,073,741,823 centavos. Convertendo para reais (100 centavos = R$ 1,00) temos:
[ \frac{1,073,741,823}{100} = 10,737,418,23 ]
[ \frac{1,073,741,823}{100} = 10,737,418,23 ]
Passo 6
Comparando os valores, R$ 10 737 418,23 é muito maior que R$ 1 000 000,00, então a oferta que dobra o pagamento diariamente é mais vantajosa.
Resposta
É preferível receber os centavos que dobram a cada dia, pois ao final do mês você ganha R$ 10 737 418,23, bem acima de R$ 1 000 000,00.