Suponha que você tenha trés partículas, e três diferentes estados de partícula simples \left(\psi_{a}(x), \psi_{b}(x)\right. e \left.\psi_{c}(x)\right) estejam disponíveis. (As partículas não precisam estar em estados diferentes; \psi_{a}\left(x_{1}\right) \psi_{a}\left(x_{2}\right) \psi_{a}\left(x_{3}\right) seria uma possibilidade se as partículas fossem distinguíveis.) Quantos estados de três partículas diferentes podem ser construídos
se elas forem bósons idênticos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Há três partículas idênticas que são bósons.
  • Existem três estados de partícula simples disponíveis: \psi_{a}(x), \psi_{b}(x) e \psi_{c}(x).
  • As partículas podem ocupar o mesmo estado (por exemplo, todas três em \psi_a é permitido).
  • Pergunta: quantos estados de três partículas podem ser construídos quando as partículas são bósons idênticos?

Passo 2

Primeiro uma explicação didática do que significa “bósons idênticos” para este problema.
  • Bósons são partículas cuja função de onda total é simétrica sob a troca de quaisquer duas partículas. Na prática, para contar estados distintos não precisamos escrever explicitamente todas as combinações permutadas; basta contar as configurações de ocupação dos estados simples.
  • Uma maneira muito prática de rotular estados de vários bósons é usar o formalismo de números de ocupação: para cada estado simples (a, b, c) definimos inteiros não-negativos n_a,n_b,n_c que representam quantas partículas ocupam esse estado. Esses números satisfazem
n_a+n_b+n_c=3,
pois temos 3 partículas no total.
  • Cada tripla (n_a,n_b,n_c) com inteiros não-negativos e somando 3 corresponde a um estado de três bósons (no espaço de Fock). Portanto o problema virou um problema de contagem de soluções inteiras não-negativas dessa equação.

Passo 3

Agora vamos contar quantas soluções inteiras não-negativas existem para
n_a+n_b+n_c=3.
Vou ensinar uma técnica combinatória muito usada (chamada “stars and bars”, ou “estrelas e varetas”) que é simples e prática:
  • Imagine que as três partículas são três “estrelas”: \ast\ast\ast.
  • Para dividir essas estrelas entre as três caixas a,b,c colocamos duas “varetas” (divisores) entre as estrelas. Por exemplo a arranjo \ast\ast|\ast| corresponde a n_a=2,n_b=1,n_c=0.
  • Assim, toda configuração corresponde a uma sequência de 3 estrelas e 2 varetas, num total de 3+2=5 posições, onde escolhemos quais 3 dessas 5 posições serão estrelas (ou equivalentemente quais 2 serão varetas).
  • Portanto o número de soluções é o número de maneiras de escolher 3 posições entre 5, isto é um coeficiente binomial:
\binom{5}{3}.

Passo 4

Calculemos o binomial explicitamente:
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.
Portanto existem 10 configurações de ocupação distintas.

Passo 5

Para fixar a intuição, vou listar todas as 10 configurações de ocupação (cada uma delas corresponde a um estado simétrico de três bósons):
\begin{aligned} & (3,0,0),\\\ & (0,3,0),\\\ & (0,0,3),\\\ & (2,1,0),\\\ & (2,0,1),\\\ & (1,2,0),\\\ & (0,2,1),\\\ & (1,0,2),\\\ & (0,1,2),\\\ & (1,1,1). \end{aligned}
Aqui por exemplo (2,1,0) corresponde, em forma de função de onda (até normalização), à versão simetrizada de \psi_a(x_1)\psi_a(x_2)\psi_b(x_3) somando todas as permutações das partículas — mas para contar estados basta usar os números de ocupação.

Passo 6

Resumo didático rápido: contar estados de bósons idênticos é o mesmo que contar distribuições de partículas entre os níveis disponíveis (ocupações). Isso evita ficar listando permutações das partículas (que não geram estados novos, por causa da simetria).

Resposta

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