Suponha que você tenha trés partículas, e três diferentes estados de partícula simples
e
estejam disponíveis. (As partículas não precisam estar em estados diferentes;
seria uma possibilidade se as partículas fossem distinguíveis.) Quantos estados de três partículas diferentes podem ser construídos
se elas forem bósons idênticos?
se elas forem bósons idênticos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
- Há três partículas idênticas que são bósons.
- Existem três estados de partícula simples disponíveis:
, e . - As partículas podem ocupar o mesmo estado (por exemplo, todas três em
é permitido). - Pergunta: quantos estados de três partículas podem ser construídos quando as partículas são bósons idênticos?
Passo 2
Primeiro uma explicação didática do que significa “bósons idênticos” para este problema.
- Bósons são partículas cuja função de onda total é simétrica sob a troca de quaisquer duas partículas. Na prática, para contar estados distintos não precisamos escrever explicitamente todas as combinações permutadas; basta contar as configurações de ocupação dos estados simples.
- Uma maneira muito prática de rotular estados de vários bósons é usar o formalismo de números de ocupação: para cada estado simples (a, b, c) definimos inteiros não-negativos
que representam quantas partículas ocupam esse estado. Esses números satisfazem
pois temos 3 partículas no total.
- Cada tripla
com inteiros não-negativos e somando 3 corresponde a um estado de três bósons (no espaço de Fock). Portanto o problema virou um problema de contagem de soluções inteiras não-negativas dessa equação.
Passo 3
Agora vamos contar quantas soluções inteiras não-negativas existem para
Vou ensinar uma técnica combinatória muito usada (chamada “stars and bars”, ou “estrelas e varetas”) que é simples e prática:
- Imagine que as três partículas são três “estrelas”:
. - Para dividir essas estrelas entre as três caixas
colocamos duas “varetas” (divisores) entre as estrelas. Por exemplo a arranjo corresponde a . - Assim, toda configuração corresponde a uma sequência de 3 estrelas e 2 varetas, num total de
posições, onde escolhemos quais 3 dessas 5 posições serão estrelas (ou equivalentemente quais 2 serão varetas). - Portanto o número de soluções é o número de maneiras de escolher 3 posições entre 5, isto é um coeficiente binomial:
Passo 4
Calculemos o binomial explicitamente:
Portanto existem
configurações de ocupação distintas.
Passo 5
Para fixar a intuição, vou listar todas as 10 configurações de ocupação (cada uma delas corresponde a um estado simétrico de três bósons):
Aqui por exemplo
corresponde, em forma de função de onda (até normalização), à versão simetrizada de
somando todas as permutações das partículas — mas para contar estados basta usar os números de ocupação.
Passo 6
Resumo didático rápido: contar estados de bósons idênticos é o mesmo que contar distribuições de partículas entre os níveis disponíveis (ocupações). Isso evita ficar listando permutações das partículas (que não geram estados novos, por causa da simetria).
Resposta
10