Suponha que você tenha trés partículas, e três diferentes estados de partícula simples
e
estejam disponíveis. (As partículas não precisam estar em estados diferentes;
seria uma possibilidade se as partículas fossem distinguíveis.) Quantos estados de três partículas diferentes podem ser construídos
se elas forem partículas distinguíveis?
se elas forem partículas distinguíveis?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos estados de três partículas diferentes podem ser construídos se elas forem partículas distinguíveis?”
Informações dadas: há três partículas (vou chamá-las de partícula ,
e
) e existem três estados de partícula simples disponíveis:
,
e
. É permitido que mais de uma partícula ocupe o mesmo estado (por exemplo
é uma possibilidade).
Informações dadas: há três partículas (vou chamá-las de partícula
Passo 2
Entendendo o que é um “estado de três partículas” aqui: um estado do sistema é um produto das funções de uma partícula avaliadas nas coordenadas de cada partícula. Em símbolos, qualquer estado geral tem a forma
, onde cada índice
pertence ao conjunto
. Vou explicar devagar o porquê dessa forma: cada partícula tem independentemente a opção de estar em qualquer um dos três estados simples; como as partículas são distinguíveis, a escolha para a partícula
é considerada distinta da escolha para a partícula
, etc.
Passo 3
Princípio multiplicativo de contagem (a regra do produto): se tenho
opções para a primeira escolha,
opções para a segunda escolha e
opções para a terceira, e as escolhas são independentes, então o número total de combinações possíveis é
. Aqui, para cada partícula há exatamente
opções (
). Portanto o número total de estados é
Passo 4
Cálculo final e interpretação:
. Isso significa que existem
estados distintos do tipo
com
. Exemplos de alguns desses estados são
,
,
, etc. Note que trocas de partículas (por exemplo trocar o que está em
com o que está em
) produzem estados diferentes porque as partículas são distinguíveis; por isso não dividimos por permutações.