Suponha que você tenha trés partículas, e três diferentes estados de partícula simples \left(\psi_{a}(x), \psi_{b}(x)\right. e \left.\psi_{c}(x)\right) estejam disponíveis. (As partículas não precisam estar em estados diferentes; \psi_{a}\left(x_{1}\right) \psi_{a}\left(x_{2}\right) \psi_{a}\left(x_{3}\right) seria uma possibilidade se as partículas fossem distinguíveis.) Quantos estados de três partículas diferentes podem ser construídos
se elas forem partículas distinguíveis?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos estados de três partículas diferentes podem ser construídos se elas forem partículas distinguíveis?”
Informações dadas: há três partículas (vou chamá-las de partícula 1, 2 e 3) e existem três estados de partícula simples disponíveis: \psi_{a}(x), \psi_{b}(x) e \psi_{c}(x). É permitido que mais de uma partícula ocupe o mesmo estado (por exemplo \psi_{a}(x_{1})\psi_{a}(x_{2})\psi_{a}(x_{3}) é uma possibilidade).

Passo 2

Entendendo o que é um “estado de três partículas” aqui: um estado do sistema é um produto das funções de uma partícula avaliadas nas coordenadas de cada partícula. Em símbolos, qualquer estado geral tem a forma \psi_{i}(x_{1})\psi_{j}(x_{2})\psi_{k}(x_{3}), onde cada índice i,j,k pertence ao conjunto \{a,b,c\}. Vou explicar devagar o porquê dessa forma: cada partícula tem independentemente a opção de estar em qualquer um dos três estados simples; como as partículas são distinguíveis, a escolha para a partícula 1 é considerada distinta da escolha para a partícula 2, etc.

Passo 3

Princípio multiplicativo de contagem (a regra do produto): se tenho n_1 opções para a primeira escolha, n_2 opções para a segunda escolha e n_3 opções para a terceira, e as escolhas são independentes, então o número total de combinações possíveis é n_1 \times n_2 \times n_3. Aqui, para cada partícula há exatamente 3 opções ( \psi_a,\psi_b,\psi_c). Portanto o número total de estados é
3 \times 3 \times 3 = 3^{3}.

Passo 4

Cálculo final e interpretação: 3^{3}=27. Isso significa que existem 27 estados distintos do tipo \psi_{i}(x_{1})\psi_{j}(x_{2})\psi_{k}(x_{3}) com i,j,k\in\{a,b,c\}. Exemplos de alguns desses estados são \psi_{a}(x_{1})\psi_{a}(x_{2})\psi_{a}(x_{3}), \psi_{a}(x_{1})\psi_{b}(x_{2})\psi_{c}(x_{3}), \psi_{c}(x_{1})\psi_{b}(x_{2})\psi_{a}(x_{3}), etc. Note que trocas de partículas (por exemplo trocar o que está em x_{1} com o que está em x_{2}) produzem estados diferentes porque as partículas são distinguíveis; por isso não dividimos por permutações.

Resposta

27

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