Calcule a derivada parcial gz z w x onde g(x, y, z, w)=x^3 w^2 z^2+sin (x yz^2). (Escolha bem a ordem de derivação.)

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista de quarta ordem
partial^4 gpartial z^2,partial w,partial x
para
g(x,y,z,w)=x^3w^2z^2+sin!l(tfracx,yz^2r)
Vamos usar que as derivadas parciais comutam e escolher uma ordem conveniente: primeiro em w (para anular o termo sin), depois duas vezes em z e, por fim, em x.

Passo 2

Derivando em w:
partial gpartial w =partialpartial wl(x^3w^2z^2r) + partialpartial wsin!l(tfracx,yz^2r) =2,x^3w,z^2+0

Passo 3

Agora duas derivadas em z:
Primeira derivada em z:
partialpartial zl(2x^3w,z^2r) =2x^3wcdot 2z=4x^3w,z
Segunda derivada em z:
partialpartial zl(4x^3w,zr) =4x^3w

Passo 4

Por fim, derivamos o resultado em x:
partialpartial xl(4x^3wr) =4cdot3x^2w=12x^2w

Resposta

gzzwx(x,y,z,w)=12,x^2w

Exercícios relacionados