Mostre que y_{1}(x)=3 x^{2}-1 é uma solução da equação de Legendre de ordem 2,
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+6 y=0
Então aplique a fórmula da redução de ordem para deduzir a segunda soluão
y_{2}(x)=y_{1}(x) \ln \frac{1+x}{1-x}-6 x

Passo 1

Temos a equação de Legendre de ordem 2
(1 - x^{2})\,y'' - 2x\,y' + 6\,y = 0
e queremos:
  1. Verificar que
y_{1}(x) = 3x^{2} - 1
é solução.
2. Usar redução de ordem para achar uma segunda solução independente
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\ln\frac{1+x}{1-x} \;-\;6x.

Passo 2

Verificação direta de que y_{1}(x) satisfaz a equação.
Calculemos as derivadas:
y_{1}'(x) = 6x, \qquad y_{1}''(x) = 6.
Substituindo em (1 - x^{2})\,y'' - 2x\,y' + 6\,y:
(1 - x^{2})\cdot 6 \;-\;2x\cdot(6x)\;+\;6\,(3x^{2}-1) = 6 - 6x^{2} \;-\;12x^{2} \;+\;18x^{2} -6 = 0.
Logo y_{1}(x)=3x^{2}-1 é de fato solução.

Passo 3

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0.
Dividindo por 1 - x^{2}, vem
y'' - \frac{2x}{1 - x^{2}}\,y' + \frac{6}{1 - x^{2}}\,y = 0,
isto é
P(x) = -\frac{2x}{1 - x^{2}}.

Passo 4

Aplicamos o método de redução de ordem. Sabemos que, dado y_{1}, uma segunda solução pode ser escrita como
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\int \frac{e^{-\displaystyle\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}} \,dx.
Aqui
-\int P(x)\,dx = -\int\Bigl(-\frac{2x}{1 - x^{2}}\Bigr)\,dx = \int \frac{2x}{1 - x^{2}}\,dx = -\ln\bigl(1 - x^{2}\bigr),
portanto
e^{-\int P(x)\,dx} = e^{-\bigl(-\ln(1 - x^{2})\bigr)} =1 - x^{2}.
Fica então
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\int \frac{1 - x^{2}}{\bigl(y_{1}(x)\bigr)^{2}} \,dx = (3x^{2}-1)\,\int \frac{1 - x^{2}}{(3x^{2}-1)^{2}} \,dx.

Passo 5

Basta calcular
I(x) = \int \frac{1 - x^{2}}{(3x^{2}-1)^{2}}\,dx.
Fazendo uma decomposição em frações parciais (ou reconhecendo a derivada de x/(3x^2-1) e a primitiva de 1/(1-x^2)), chega-se a
I(x) = \frac{1}{2}\,\ln\frac{1+x}{1-x} \;-\; \frac{2x}{3x^{2}-1} \;+\;C.
Logo
y_{2}(x) = (3x^{2}-1)\,\Bigl[ \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} -\frac{2x}{3x^{2}-1} \Bigr] = \frac{1}{2}(3x^{2}-1)\ln\frac{1+x}{1-x} \;-\;2x \;+\;C\,(3x^{2}-1).
Como podemos somar a qualquer solução um múltiplo de y_{1}(x) sem perder independência, ajustamos as constantes para obter a forma desejada
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\ln\frac{1+x}{1-x} \;-\;6x.

Resposta

y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\ln\frac{1+x}{1-x} \;-\;6x.

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