Mostre que
é uma solução da equação de Legendre de ordem 2,
Então aplique a fórmula da redução de ordem para deduzir a segunda soluão
Passo 1
Temos a equação de Legendre de ordem 2
e queremos:
- Verificar que
é solução.
2. Usar redução de ordem para achar uma segunda solução independente
2. Usar redução de ordem para achar uma segunda solução independente
Passo 2
Verificação direta de que
satisfaz a equação.
Calculemos as derivadas:
Calculemos as derivadas:
Substituindo em
:
Logo
é de fato solução.
Passo 3
Colocamos a equação na forma padrão
Dividindo por
, vem
isto é
Passo 4
Aplicamos o método de redução de ordem. Sabemos que, dado
, uma segunda solução pode ser escrita como
Aqui
portanto
Fica então
Passo 5
Basta calcular
Fazendo uma decomposição em frações parciais (ou reconhecendo a derivada de
e a primitiva de
), chega-se a
Logo
Como podemos somar a qualquer solução um múltiplo de
sem perder independência, ajustamos as constantes para obter a forma desejada