Suponha que o Wronskiano de duas soluções da equação diferencial
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0
é igual a 1 , e que y_{1}(x)=x^{3} é uma solução. Usando a fórmula de Abel, determine a solução geral de
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=x .

Passo 1

O enunciado dá a equação não homogênea
y''+p(x)y'+q(x)y = x
e informa que duas soluções da homogênea
y''+p(x)y'+q(x)y=0
têm Wronskiano W(x)=1 e que y_1(x)=x^3 é uma solução. Vamos usar a fórmula de Abel para obter p(x), depois achar a segunda solução y_2 e por fim usar variação de parâmetros para construir a solução geral da não homogênea.

Passo 2

Pela fórmula de Abel, o Wronskiano de duas soluções da homogênea satisfaz
W(x) = Ce^{-\int p(x)\,dx}.
Como W(x)=1 para todo x, temos
Ce^{-\int p(x)\,dx}=1 \quad\Longrightarrow\quad \int p(x)\,dx = \ln C.
Diferenciando, p(x)=0. Portanto a homogênea é
y''+q(x)y=0.

Passo 3

Para achar a segunda solução y_2 use a fórmula
y_2(x) = y_1(x)\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{[y_1(x)]^2}\,dx = x^3\int \frac{1}{x^6}\,dx = x^3\int x^{-6}\,dx.
Calculemos o integral:
\int x^{-6}\,dx = -\tfrac{1}{5}x^{-5}.
Logo
y_2(x) = x^3\Bigl(-\tfrac{1}{5}x^{-5}\Bigr) = -\tfrac{1}{5}x^{-2}.
Podemos, sem perda, escolher
y_2(x)=x^{-2}.

Passo 4

Agora aplicamos variação de parâmetros para
y''+q(x)y = x,
com y_1=x^3, y_2=x^{-2} e W=1. A fórmula dá
y_p = -y_1\int \frac{y_2\cdot x}{W}\,dx +y_2\int \frac{y_1\cdot x}{W}\,dx.
Calculemos cada integral separadamente:
\int y_2\,x\,dx = \int x^{-2}\,x\,dx = \int x^{-1}\,dx = \ln|x|,
\int y_1\,x\,dx = \int x^3\cdot x\,dx = \int x^4\,dx = \tfrac{x^5}{5}.
Logo
y_p = -x^3\bigl(\ln|x|\bigr) + x^{-2}\bigl(\tfrac{x^5}{5}\bigr) = -x^3\ln|x| + \tfrac{1}{5}x^3.

Passo 5

O termo \tfrac{1}{5}x^3 pode ser absorvido na parte homogênea (coeficiente de x^3). Assim basta reter
y_p(x)= -\,x^3\ln|x|.
Portanto a solução geral da não homogênea é
y(x) = C_1\,x^3 + C_2\,x^{-2} \;-\; x^3\ln|x|.

Resposta

y(x) = C_1\,x^3 + C_2\,x^{-2} \;-\; x^3\ln|x|.

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