Suponha que X sim U(0,1). Obtenha a densidade de Y=X^1 / beta, com beta neq 0.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma variável aleatória Xsim U(0,1) (ou seja, densidade fX(x)=1 para 0) e queremos achar a densidade de
Y ;=; X^1/beta, betaneq 0
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas. O que vamos usar: ou o método da função inversa (Jacobian) ou o método da CDF. Aqui vou usar o Jacobian porque é mais direto quando a transformação é monotônica.

Passo 2

Definimos a transformação
g(x)=x^1/beta,
que é estritamente monotônica para betane0. Para usar o método da inversa, precisamos achar g^-1:
y = x^1/beta;Longrightarrow; x = y^beta
Então g^-1(y)=y^beta.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de mudança de variável:
fY(y)=fXl(g^-1(y)r);l|ddyl[g^-1(y)r]r|
Como fX(x)=1 em (0,1) e zero fora, fica
fY(y)=1;times;l|ddy,y^betar| ;=;|beta|,y^beta-1

Passo 4

Só falta achar para quais y essa densidade vale. Como x=y^beta deve ficar entre 0 e 1, temos:
  • Se beta>0, então 0.
  • Se beta<0, então 01 (porque elevar a potência negativa inverte as desigualdades).

Resposta

A densidade de Y=X^1/beta é
fY(y)=|beta|,y^beta-1 com domínio 00, y>1,&beta<0 í

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