Beleza, então o enunciado diz que temos uma variável aleatória (ou seja, densidade para ) e queremos achar a densidade de
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas. O que vamos usar: ou o método da função inversa (Jacobian) ou o método da CDF. Aqui vou usar o Jacobian porque é mais direto quando a transformação é monotônica.
Passo 2
Definimos a transformação
que é estritamente monotônica para . Para usar o método da inversa, precisamos achar :
Então .
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de mudança de variável:
Como fX(x)=1 em (0,1) e zero fora, fica fY(y)=1;times;l|ddy,y^betar| ;=;|beta|,y^beta-1
Passo 4
Só falta achar para quais y essa densidade vale. Como x=y^beta deve ficar entre 0 e 1, temos:
Se beta>0, então 0.
Se beta<0, então 01 (porque elevar a potência negativa inverte as desigualdades).
Resposta
A densidade de Y=X^1/beta é
fY(y)=|beta|,y^beta-1 com domínio 00, y>1,&beta<0 í