Se \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X), calcule P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma).
Passo 1
O enunciado dá a densidade de X\) e pede a probabilidade de um intervalo centrado em \(\mu\) com largura \(4\sigma\). Informações e o que é pedido:
- Densidade:
\[f_{X}(x)=\begin{cases} 6x(1-x), & 0\le x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
Definições que usaremos (pegas do enunciado indiretamente):
\mu=E[X]\] é a esperança de \(X.
\sigma^{2}=\operatorname{Var}(X) é a variância de X.
O que pedir: calcular
P(\mu-2\sigma < X < \mu+2\sigma).
Nada mais é fornecido. Vamos calcular \mu, \sigma^{2}, os extremos do intervalo \mu\pm2\sigma e então a probabilidade correspondente.]
Passo 2
Calcular \mu=E[X]. Lembrete e método:
A definição de esperança para variável contínua é
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_{X}(x)\,dx.
Como f_{X}(x) é zero fora de [0,1], a integral fica sobre [0,1].
Observe que a e b caem dentro do suporte [0,1] (pois \dfrac{1}{\sqrt{5}}\approx0,447), então a probabilidade é simplesmente a integral da densidade entre a e b.
Passo 5
Aproveitar simetria da densidade para simplificar a integral. Explicação:
Note que f_{X}(x)=6x(1-x) é simétrica em torno de x=\dfrac{1}{2}, porque f\big(\tfrac{1}{2}+t\big)=6(\tfrac{1}{2}+t)(\tfrac{1}{2}-t)=6(\tfrac{1}{4}-t^{2}) é igual a f\big(\tfrac{1}{2}-t\big).
Como o intervalo [\mu-2\sigma,\mu+2\sigma] é simétrico em torno de \mu=\tfrac{1}{2}, podemos escrever