Uma variável aleatória X tem função de densidade dada por:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc} 6 x(1-x), & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { c.c. } \end{array}\right.
Se \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X), calcule P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de X\) e pede a probabilidade de um intervalo centrado em \(\mu\) com largura \(4\sigma\). Informações e o que é pedido: - Densidade: \[f_{X}(x)=\begin{cases} 6x(1-x), & 0\le x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
  • Definições que usaremos (pegas do enunciado indiretamente):
    • \mu=E[X]\] é a esperança de \(X.
    • \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X) é a variância de X.
  • O que pedir: calcular
P(\mu-2\sigma < X < \mu+2\sigma).
Nada mais é fornecido. Vamos calcular \mu, \sigma^{2}, os extremos do intervalo \mu\pm2\sigma e então a probabilidade correspondente.]

Passo 2

Calcular \mu=E[X]. Lembrete e método:
  • A definição de esperança para variável contínua é
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_{X}(x)\,dx.
  • Como f_{X}(x) é zero fora de [0,1], a integral fica sobre [0,1].
Calculemos:
E[X]=\int_{0}^{1} x\cdot 6x(1-x)\,dx = 6\int_{0}^{1} x^{2}(1-x)\,dx.
Expandindo o integrando:
x^{2}(1-x)=x^{2}-x^{3}.
Então
E[X]=6\left(\int_{0}^{1} x^{2}\,dx - \int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right).
Usando \int_{0}^{1} x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=\frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1} x^{3}\,dx=\frac{1}{4}.
Portanto
E[X]=6\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=6\cdot\frac{1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.
Logo \mu=\dfrac{1}{2}. (Bom começo — já temos o centro do intervalo.)

Passo 3

Calcular \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X). Lembrete e método:
  • A variância pode ser calculada por
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\big(E[X]\big)^{2}.
  • Já temos E[X]=\dfrac{1}{2}. Precisamos de E[X^{2}].
Calcule E[X^{2}]:
E[X^{2}]=\int_{0}^{1} x^{2}\cdot 6x(1-x)\,dx =6\int_{0}^{1} x^{3}(1-x)\,dx.
Expandindo:
x^{3}(1-x)=x^{3}-x^{4}.
Então
E[X^{2}]=6\left(\int_{0}^{1} x^{3}\,dx - \int_{0}^{1} x^{4}\,dx\right).
Usando \int_{0}^{1} x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} x^{4}\,dx=\frac{1}{5}.
Portanto
E[X^{2}]=6\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)=6\cdot\frac{1}{20}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\big(E[X]\big)^{2}=\frac{3}{10}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}.
Colocando em denominador comum 20:
\frac{3}{10}=\frac{6}{20},\qquad \frac{1}{4}=\frac{5}{20},
logo
\operatorname{Var}(X)=\frac{6}{20}-\frac{5}{20}=\frac{1}{20}.

Passo 4

Calcular \sigma e os extremos do intervalo \mu\pm 2\sigma.
  • Temos \sigma^{2}=\dfrac{1}{20}, então
\sigma=\sqrt{\frac{1}{20}}=\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}.
  • O intervalo pedido é \mu\pm 2\sigma. Como \mu=\dfrac{1}{2} e 2\sigma=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}, os extremos são
a=\mu-2\sigma=\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad b=\mu+2\sigma=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}.
Observe que a e b caem dentro do suporte [0,1] (pois \dfrac{1}{\sqrt{5}}\approx0,447), então a probabilidade é simplesmente a integral da densidade entre a e b.

Passo 5

Aproveitar simetria da densidade para simplificar a integral. Explicação:
  • Note que f_{X}(x)=6x(1-x) é simétrica em torno de x=\dfrac{1}{2}, porque f\big(\tfrac{1}{2}+t\big)=6(\tfrac{1}{2}+t)(\tfrac{1}{2}-t)=6(\tfrac{1}{4}-t^{2}) é igual a f\big(\tfrac{1}{2}-t\big).
  • Como o intervalo [\mu-2\sigma,\mu+2\sigma] é simétrico em torno de \mu=\tfrac{1}{2}, podemos escrever
P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=2\int_{\mu}^{b} f_{X}(x)\,dx,
ou diretamente integrar de a a b. Vou usar a primitiva para integrar facilmente.
Encontrar a primitiva de f_{X}(x):
f_{X}(x)=6x(1-x)=6(x-x^{2}).
Uma primitiva F(x) é
F(x)=6\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right)=3x^{2}-2x^{3}.
Verificação rápida: F'(x)=6(x-x^{2})=f_{X}(x).

Passo 6

Calcular a probabilidade usando a primitiva. Primeiro pelo método direto:
P=\int_{a}^{b} 6x(1-x)\,dx = \big[\,3x^{2}-2x^{3}\,\big]_{x=a}^{x=b}= \big(3b^{2}-2b^{3}\big)-\big(3a^{2}-2a^{3}\big).
Como a=\dfrac{1}{2}-s e b=\dfrac{1}{2}+s com s=\dfrac{1}{\sqrt{5}}, podemos usar a simetria para simplificar. Já calculámos F\big(\tfrac{1}{2}\big):
F\!\left(\frac{1}{2}\right)=3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Então, por simetria,
P=2\big(F(b)-F(\tfrac{1}{2})\big)=2\big(F(b)-\tfrac{1}{2}\big).
Calcule F(b) com b=\dfrac{1}{2}+s. Expandindo como polinômio (mostrando passos):
b^{2}=\left(\frac{1}{2}+s\right)^{2}=\frac{1}{4}+s+s^{2},
b^{3}=\left(\frac{1}{2}+s\right)^{3}=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}s+\frac{3}{2}s^{2}+s^{3}.
Então
F(b)=3b^{2}-2b^{3} =3\Big(\frac{1}{4}+s+s^{2}\Big)-2\Big(\frac{1}{8}+\frac{3}{4}s+\frac{3}{2}s^{2}+s^{3}\Big).
Calculando termo a termo:
F(b)=\frac{3}{4}+3s+3s^{2}-\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}s+3s^{2}+2s^{3}\right).
Agrupando:
F(b)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}s -2s^{3}.
Logo
F(b)-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}s -2s^{3}.
Portanto
P=2\left(\frac{3}{2}s -2s^{3}\right)=3s-4s^{3}.
Lembrando s=\dfrac{1}{\sqrt{5}}, temos
P=3\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} -4\cdot\frac{1}{(\sqrt{5})^{3}}.
Como (\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}, isto é
P=\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{4}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(3-\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{11}{5}=\frac{11}{5\sqrt{5}}.
Opcionalmente racionalizando:
P=\frac{11\sqrt{5}}{25}.
Valor numérico (aproximação):
P\approx 0,98387.

Resposta

P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=\frac{11}{5\sqrt{5}}\approx 0,98387

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