Numa urna estão 100 bolinhas. Determine a probabilidade de cada resultado no sorteio de uma delas:
um número ímpar, sabendo que é um número menor que 31 ;
um número ímpar, sabendo que é um número menor que 31 ;
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de sair “um número ímpar” no sorteio de uma bolinha, sabendo que a bolinha sorteada é “um número menor que 31”. As informações fornecidas são: há
bolinhas na urna. Vou assumir que as bolinhas estão numeradas de
a
e que cada bolinha tem a mesma chance de ser sorteada (probabilidades uniformes). Não vou resolver nada ainda, só organizei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Vamos traduzir a pergunta para probabilidade condicional. A quantidade que queremos é a probabilidade de o número ser ímpar dado que ele é menor que
. Em notação habitual isso é
Eu explico o significado: isso quer dizer “entre todas as bolinhas com número menor que
, qual a fração que tem número ímpar?”.
Passo 3
Lembrete prático (fórmula) para casos de resultados igualmente prováveis: se todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento
é
onde
é o número de resultados favoráveis e
é o número de resultados possíveis (o espaço amostral). Para probabilidade condicional, quando todos os resultados são igualmente prováveis, a fórmula fica simples:
ou seja, conte quantos resultados estão em
e em
ao mesmo tempo e divida pelo número de resultados em
. Vou explicar cada símbolo:
é a contagem dos elementos que satisfazem tanto
quanto
;
é a contagem de elementos que satisfazem
.
Passo 4
Identificamos
e
para o problema:
“número ímpar”,
"número menor que
". Precisamos calcular
e
.
Passo 5
Contagem de bolinhas com número menor que
: são os números de
até
. Então
Expliquei: contar
dá
elementos.
Passo 6
Contagem de números ímpares entre
e
(ou seja,
). Os ímpares nesse intervalo são
. Uma forma rápida de contar: entre
e
há exatamente metade dos números ímpares porque
é par; mais formalmente o número de ímpares é
Portanto
Passo 7
Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
Agora simplificamos a fração:
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: entre as
bolinhas com números menores que
, exatamente
são ímpares e
são pares, então a chance de ser ímpar sabendo que é menor que
é
(ou
, ou
). Isso bate com a intuição — em qualquer intervalo de
a
existem
ímpares e
pares.