Seja o experimento: lançar dois dados, e os eventos:
(A=\left{\left(x_{1}, x_{2}\right) / x_{1}+x_{2}=8\right}\
(B=\left{\left(x_{1}, x_{2}\right) / x_{1}+x_{2}\right}\
Calcule:
)
(B=\left{\left(x_{1}, x_{2}\right) / x_{1}+x_{2}\right}\
Passo 1
O enunciado descreve o experimento de lançar dois dados e define eventos com pares
, onde
é o resultado do primeiro dado e
do segundo dado. Informações e perguntas dadas pelo enunciado:
- Espaço amostral: todos os pares
com e . Há, portanto, resultados possíveis igualmente prováveis (cada par tem probabilidade ). - Evento
: . - Evento
: . - O que devemos calcular: a probabilidade condicional
.
Passo 2
Relembrando a definição de probabilidade condicional (a fórmula que vamos usar): se
é um evento com
, então a probabilidade de
dado
é
Explicando cada parte dessa fórmula de forma bem direta:
-
é a probabilidade de ocorrer sabendo que já ocorreu. -
é o evento que representa "ocorrer simultaneamente e " — isto é, os resultados que estão em ambos os conjuntos. -
é a probabilidade de ocorrerem resultados que satisfazem tanto quanto . -
é a probabilidade de ocorrer; dividimos por ela porque estamos condicionando ao fato de já ter ocorrido.
Passo 3
Vamos listar explicitamente os resultados (pares
) que pertencem a
e a
. Isso ajuda muito a visualizar se existe interseção entre os eventos.
-
Resultados com soma
(evento ): Conte-os: sãoresultados. -
Resultados com soma
(evento ): Conte-os: sãoresultados.
Observação: listei esses pares a partir da definição dos eventos (soma dos dois dados igual a um número dado).
Passo 4
Agora determinamos a interseção
. A interseção são os pares que aparecem simultaneamente nas duas listas. Comparando os elementos de
e de
, vemos que nenhum par é comum às duas listas (um par não pode ter soma
e soma
ao mesmo tempo).
Portanto,
(o conjunto vazio).
Passo 5
Como
, a probabilidade de
é zero:
Também, para garantir que a fórmula de probabilidade condicional é aplicável, calculamos
. Cada resultado elementar tem probabilidade
, então
que é maior que zero, logo podemos usar a fórmula de condicional sem problema.
Passo 6
Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
Interpretação intuitiva: sabendo que a soma deu
, é impossível ao mesmo tempo que a soma seja
; por isso a probabilidade é zero.