Seja o experimento: lançar dois dados, e os eventos:
(A=\left{\left(x_{1}, x_{2}\right) / x_{1}+x_{2}=8\right}\ C=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) / x_{1}+x_{2}=10\right\}
(B=\left{\left(x_{1}, x_{2}\right) / x_{1}+x_{2}\right}\ D=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) / x_{1}>x_{2}\right\}
Calcule:
P(C / A))

Passo 1

O enunciado descreve o experimento de lançar dois dados e define eventos com pares (x_{1},x_{2}), onde x_{1} é o resultado do primeiro dado e x_{2} do segundo dado. Informações e perguntas dadas pelo enunciado:
  • Espaço amostral: todos os pares (x_{1},x_{2}) com x_{1}\in\{1,2,3,4,5,6\} e x_{2}\in\{1,2,3,4,5,6\}. Há, portanto, 36 resultados possíveis igualmente prováveis (cada par tem probabilidade 1/36).
  • Evento A: \left\{(x_{1},x_{2}) \mid x_{1}+x_{2}=8\right\}.
  • Evento C: \left\{(x_{1},x_{2}) \mid x_{1}+x_{2}=10\right\}.
  • O que devemos calcular: a probabilidade condicional P(C\mid A).

Passo 2

Relembrando a definição de probabilidade condicional (a fórmula que vamos usar): se A é um evento com P(A)>0, então a probabilidade de C dado A é
P(C\mid A)=\frac{P(C\cap A)}{P(A)}.
Explicando cada parte dessa fórmula de forma bem direta:
  • P(C\mid A) é a probabilidade de ocorrer C sabendo que A já ocorreu.
  • C\cap A é o evento que representa "ocorrer simultaneamente C e A" — isto é, os resultados que estão em ambos os conjuntos.
  • P(C\cap A) é a probabilidade de ocorrerem resultados que satisfazem tanto C quanto A.
  • P(A) é a probabilidade de A ocorrer; dividimos por ela porque estamos condicionando ao fato de A já ter ocorrido.

Passo 3

Vamos listar explicitamente os resultados (pares (x_{1},x_{2})) que pertencem a A e a C. Isso ajuda muito a visualizar se existe interseção entre os eventos.
  • Resultados com soma 8 (evento A):
    A=\{(2,6),\,(3,5),\,(4,4),\,(5,3),\,(6,2)\}.
    Conte-os: são 5 resultados.
  • Resultados com soma 10 (evento C):
    C=\{(4,6),\,(5,5),\,(6,4)\}.
    Conte-os: são 3 resultados.
Observação: listei esses pares a partir da definição dos eventos (soma dos dois dados igual a um número dado).

Passo 4

Agora determinamos a interseção C\cap A. A interseção são os pares que aparecem simultaneamente nas duas listas. Comparando os elementos de A e de C, vemos que nenhum par é comum às duas listas (um par não pode ter soma 8 e soma 10 ao mesmo tempo).
Portanto,
C\cap A=\varnothing
(o conjunto vazio).

Passo 5

Como C\cap A=\varnothing, a probabilidade de C\cap A é zero:
P(C\cap A)=0.
Também, para garantir que a fórmula de probabilidade condicional é aplicável, calculamos P(A). Cada resultado elementar tem probabilidade 1/36, então
P(A)=\frac{5}{36},
que é maior que zero, logo podemos usar a fórmula de condicional sem problema.

Passo 6

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
P(C\mid A)=\frac{P(C\cap A)}{P(A)}=\frac{0}{5/36}=0.
Interpretação intuitiva: sabendo que a soma deu 8, é impossível ao mesmo tempo que a soma seja 10; por isso a probabilidade é zero.

Resposta

0

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