Ex. 9 Suponha que a variável aleatória
tenha média
, variância
e que
. Determine os valores de
e
para os quais
e
.
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória
tem média
e variância
, e define
. As perguntas são: encontrar os valores de
e
tais que
e
.\n
Informações relevantes dadas:
= média de
.
= variância de
.
é uma transformação afim de
.
Observação importante: para que se possa ter precisamos que
(se
a variância de
é zero e não há como obter variância 1 por escala).
Informações relevantes dadas:
Observação importante: para que se possa ter
Passo 2
Primeiro vamos usar a propriedade da esperança (expectation): a esperança é linear. Vou explicar isso devagarinho. Se temos constantes
e
e uma v.a.
, então
Aqui
, então substituindo obtemos
A condição
vira então uma equação simples em
e
:
Isolando
obtemos
Resumo: para a média de
ser zero,
tem que cancelar
, isto é
.
Passo 3
Agora vamos à variância. Vou lembrar a definição e a propriedade que usamos: a variância de uma v.a.
é
onde
. Se fazemos uma transformação afim
, a variância transforma-se multiplicada por
(o termo constante
não altera a dispersão). Faço a conta passo a passo:
Primeiro calcule a média de
(já vimos que é
). Então
Simplificando o parêntese:
Logo
Mas
. Portanto
Passo 4
Impondo
obtemos a equação
Resolve-se para
:
Como
, isso dá duas possibilidades para
:
Passo 5
Agora voltamos à relação que ligava
a
, que era
. Substituímos as duas opções de
:
Se
, então
Se
, então
Portanto há duas soluções
que satisfazem as duas condições.
Passo 6
Pequeno exemplo numérico para fixar (só para treinar): se
e
então
. As soluções são
ou
. Em geral, na prática, costuma-se escolher
e
— isso “padroniza”
em uma v.a. com média zero e variância 1 (o famoso processo de standardização).