Ex. 9 Suponha que a variável aleatória X tenha média \mu, variância \sigma^{2} e que Y=a X+b. Determine os valores de a e b para os quais \mathbb{E}[Y]=0 e \operatorname{Var}[Y]=1.

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X tem média \mu e variância \sigma^{2}, e define Y=aX+b. As perguntas são: encontrar os valores de a e b tais que \mathbb{E}[Y]=0 e \operatorname{Var}[Y]=1.\n
Informações relevantes dadas:
\mu = média de X.
\sigma^{2} = variância de X.
Y=aX+b é uma transformação afim de X.
Observação importante: para que se possa ter \operatorname{Var}[Y]=1 precisamos que \sigma>0 (se \sigma=0 a variância de X é zero e não há como obter variância 1 por escala).

Passo 2

Primeiro vamos usar a propriedade da esperança (expectation): a esperança é linear. Vou explicar isso devagarinho. Se temos constantes a e b e uma v.a. X, então
\mathbb{E}[aX+b]=a\,\mathbb{E}[X]+b.
Aqui \mathbb{E}[X]=\mu, então substituindo obtemos
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[aX+b]=a\mu+b.
A condição \mathbb{E}[Y]=0 vira então uma equação simples em a e b:
a\mu+b=0.
Isolando b obtemos
b=-a\mu.
Resumo: para a média de Y ser zero, b tem que cancelar a\mu, isto é b=-a\mu.

Passo 3

Agora vamos à variância. Vou lembrar a definição e a propriedade que usamos: a variância de uma v.a. X é
\operatorname{Var}[X]=\mathbb{E}\big[(X-\mu)^{2}\big],
onde \mu=\mathbb{E}[X]. Se fazemos uma transformação afim Y=aX+b, a variância transforma-se multiplicada por a^{2} (o termo constante b não altera a dispersão). Faço a conta passo a passo:
Primeiro calcule a média de Y (já vimos que é a\mu+b). Então
\operatorname{Var}[Y]=\mathbb{E}\big[(Y-\mathbb{E}[Y])^{2}\big] =\mathbb{E}\big[(aX+b-(a\mu+b))^{2}\big].
Simplificando o parêntese:
aX+b-(a\mu+b)=a(X-\mu).
Logo
\operatorname{Var}[Y]=\mathbb{E}\big[(a(X-\mu))^{2}\big]=a^{2}\,\mathbb{E}\big[(X-\mu)^{2}\big].
Mas \mathbb{E}\big[(X-\mu)^{2}\big]=\operatorname{Var}[X]=\sigma^{2}. Portanto
\operatorname{Var}[Y]=a^{2}\sigma^{2}.

Passo 4

Impondo \operatorname{Var}[Y]=1 obtemos a equação
a^{2}\sigma^{2}=1.
Resolve-se para a:
a^{2}=\frac{1}{\sigma^{2}}\quad\Rightarrow\quad |a|=\frac{1}{\sigma}.
Como \sigma>0, isso dá duas possibilidades para a:
a=\frac{1}{\sigma}\quad\text{ou}\quad a=-\frac{1}{\sigma}.

Passo 5

Agora voltamos à relação que ligava b a a, que era b=-a\mu. Substituímos as duas opções de a:
Se a=\dfrac{1}{\sigma}, então
b=-a\mu=-\frac{\mu}{\sigma}.
Se a=-\dfrac{1}{\sigma}, então
b=-a\mu=-\left(-\frac{1}{\sigma}\right)\mu=\frac{\mu}{\sigma}.
Portanto há duas soluções (a,b) que satisfazem as duas condições.

Passo 6

Pequeno exemplo numérico para fixar (só para treinar): se \mu=2 e \sigma^{2}=4 então \sigma=2. As soluções são a=1/2,\\ b=-1 ou a=-1/2,\\ b=1. Em geral, na prática, costuma-se escolher a=1/\sigma e b=-\mu/\sigma — isso “padroniza” X em uma v.a. com média zero e variância 1 (o famoso processo de standardização).

Resposta

a=\dfrac{1}{\sigma},\\ b=-\dfrac{\mu}{\sigma}
a=-\dfrac{1}{\sigma},\\ b=\dfrac{\mu}{\sigma}

Exercícios relacionados