Ex. 5 Suponha que X e Y tenham uma distribuição conjunta contínua para a qual a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) conjunta é definida da seguinte forma
f_{X, Y}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{3}{2} y^{2} \quad \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1, \\\\ 0 \quad \text { caso contrário. } \end{array}\right.
(a) Determine as f.d.p.'s marginais de X e Y.
(b) Os eventos \{X<1\} e \{Y \geq 1 / 2\} são independentes?
(b) Verificar se os eventos \{X<1\} e \{Y\ge 1/2\} são independentes.
Informações relevantes extraídas do enunciado: o suporte da densidade é o retângulo [0,2]\times[0,1] e dentro desse retângulo f_{X,Y}(x,y)=\tfrac{3}{2}y^{2}.]
Passo 2
O que é “f.d.p. marginal”?
Se temos duas variáveis contínuas com densidade conjunta f_{X,Y}(x,y), a densidade marginal de X é obtida integrando a densidade conjunta em relação a y sobre todos os valores possíveis de y. Em fórmula:
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dy.
Analogamente, a densidade marginal de Y é
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dx.
Aqui a ideia é “somar” (integrar) a probabilidade sobre a outra variável, ficando só com a variável de interesse.
Passo 3
Determine os limites de integração usando o suporte (retângulo dado). Pelo enunciado: para qualquer x fora de [0,2] a f.d.p. conjunta é zero; para qualquer y fora de [0,1] é zero. Portanto, ao calcular f_X(x) integraremos em y de 0 a 1 (quando x estiver em [0,2]); fora desse intervalo f_X(x)=0. Similarmente para f_Y(y) integraremos em x de 0 a 2 (quando y estiver em [0,1]); fora disso f_Y(y)=0.
Passo 4
Calcule f_X(x)\). Para \(0\le x\le 2\),
\[f_X(x)=\int_{0}^{1} f_{X,Y}(x,y)\,dy=\int_{0}^{1} \frac{3}{2}\,y^{2}\,dy.
Agora a parte (b): independência dos eventos \{X<1\} e \{Y\ge 1/2\}. Método: para dois eventos A e B em um espaço de probabilidade contínuo, são independentes se e somente se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Vamos calcular P(A), P(B) e P(A\cap B) usando as densidades marginais (ou a conjunta) e comparar.
no suporte, o que implica que X e Y são variáveis independentes; então qualquer evento mensurável em X é independente de qualquer evento mensurável em Y, em particular \{X<1\} e \{Y\ge\tfrac{1}{2}\}.