Ex. 5 Suponha que X e Y tenham uma distribuição conjunta contínua para a qual a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) conjunta é definida da seguinte forma
f_{X, Y}(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{3}{2} y^{2} \quad \text { para } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 1, \\\\ 0 \quad \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
(a) Determine as f.d.p.'s marginais de X e Y.
(b) Os eventos \{X<1\} e \{Y \geq 1 / 2\} são independentes?

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases} \dfrac{3}{2}\,y^{2}, & \text{para }0\le x\le 2\text{ e }0\le y\le 1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
As perguntas são:
  1. (a) Determinar as f.d.p.'s marginais de X e de Y.
  2. (b) Verificar se os eventos \{X<1\} e \{Y\ge 1/2\} são independentes.
Informações relevantes extraídas do enunciado: o suporte da densidade é o retângulo [0,2]\times[0,1] e dentro desse retângulo f_{X,Y}(x,y)=\tfrac{3}{2}y^{2}.]

Passo 2

O que é “f.d.p. marginal”?
Se temos duas variáveis contínuas com densidade conjunta f_{X,Y}(x,y), a densidade marginal de X é obtida integrando a densidade conjunta em relação a y sobre todos os valores possíveis de y. Em fórmula:
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dy.
Analogamente, a densidade marginal de Y é
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dx.
Aqui a ideia é “somar” (integrar) a probabilidade sobre a outra variável, ficando só com a variável de interesse.

Passo 3

Determine os limites de integração usando o suporte (retângulo dado). Pelo enunciado: para qualquer x fora de [0,2] a f.d.p. conjunta é zero; para qualquer y fora de [0,1] é zero. Portanto, ao calcular f_X(x) integraremos em y de 0 a 1 (quando x estiver em [0,2]); fora desse intervalo f_X(x)=0. Similarmente para f_Y(y) integraremos em x de 0 a 2 (quando y estiver em [0,1]); fora disso f_Y(y)=0.

Passo 4

Calcule f_X(x)\). Para \(0\le x\le 2\), \[f_X(x)=\int_{0}^{1} f_{X,Y}(x,y)\,dy=\int_{0}^{1} \frac{3}{2}\,y^{2}\,dy.
Agora integramos:
\int_{0}^{1} \frac{3}{2}\,y^{2}\,dy=\frac{3}{2}\int_{0}^{1} y^{2}\,dy=\frac{3}{2}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.
Portanto
f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0\le x\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Comentário rápido: isso significa que X\] é uniformemente distribuída em \([0,2] (densidade constante \tfrac{1}{2}).]

Passo 5

Calcule f_Y(y). Para 0\le y\le 1,
f_Y(y)=\int_{0}^{2} f_{X,Y}(x,y)\,dx=\int_{0}^{2} \frac{3}{2}\,y^{2}\,dx.
Aqui \frac{3}{2}y^{2} não depende de x, então
\int_{0}^{2} \frac{3}{2}\,y^{2}\,dx=\frac{3}{2}\,y^{2}\int_{0}^{2} dx=\frac{3}{2}\,y^{2}\cdot 2=3\,y^{2}.
Logo
f_Y(y)=\begin{cases} 3\,y^{2}, & 0\le y\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 6

Verificação rápida de normalização (para nos deixar tranquilos):
\int_{0}^{2} f_X(x)\,dx=\int_{0}^{2}\tfrac{1}{2}\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot 2=1,
\int_{0}^{1} f_Y(y)\,dy=\int_{0}^{1} 3y^{2}\,dy=[y^{3}]_{0}^{1}=1.
Tudo certo: marginais são densidades válidas.

Passo 7

Agora a parte (b): independência dos eventos \{X<1\} e \{Y\ge 1/2\}. Método: para dois eventos A e B em um espaço de probabilidade contínuo, são independentes se e somente se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Vamos calcular P(A), P(B) e P(A\cap B) usando as densidades marginais (ou a conjunta) e comparar.

Passo 8

Calcule P(A)=P(X<1). Usamos f_X:
P(X<1)=\int_{0}^{1} f_X(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 9

Calcule P(B)=P(Y\ge 1/2). Usamos f_Y:
P\big(Y\ge\tfrac{1}{2}\big)=\int_{1/2}^{1} f_Y(y)\,dy=\int_{1/2}^{1} 3y^{2}\,dy=\left[y^{3}\right]_{1/2}^{1}=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}.

Passo 10

Calcule P(A\cap B)=P\big(X<1,\;Y\ge\tfrac{1}{2}\big). Podemos integrar a densidade conjunta no retângulo x\in[0,1],\,y\in[1/2,1]:
P(A\cap B)=\int_{x=0}^{1}\int_{y=1/2}^{1} f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\int_{1/2}^{1} \frac{3}{2}\,y^{2}\,dy\,dx.
Primeiro a integral em y:
\int_{1/2}^{1} \frac{3}{2}\,y^{2}\,dy=\frac{3}{2}\int_{1/2}^{1} y^{2}\,dy=\frac{3}{2}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{1/2}^{1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{16}.
Agora a integral em x sobre [0,1] multiplica por 1, então
P(A\cap B)=\frac{7}{16}.

Passo 11

Compare P(A\cap B) com P(A)\,P(B):
P(A)\,P(B)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{7}{8}\right)=\frac{7}{16}=P(A\cap B).
Como são iguais, os eventos são independentes.
Observação alternativa (útil para prova): a própria densidade conjunta fatoriza como
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y)=\frac{1}{2}\cdot 3y^{2}=\frac{3}{2}y^{2}
no suporte, o que implica que X e Y são variáveis independentes; então qualquer evento mensurável em X é independente de qualquer evento mensurável em Y, em particular \{X<1\} e \{Y\ge\tfrac{1}{2}\}.

Resposta

(a) f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}, & 0\le x\le 2,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á \qquad\) \(f_Y(y)=\begin{cases}3y^{2}, & 0\le y\le 1,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}
(b) Sim — os eventos \{X<1\} e \{Y\ge 1/2\} são independentes.]

Exercícios relacionados