Uma linha de produção está calibrada para colocar 160 \mathrm{ml} \pm 8 \mathrm{ml} (desvio-padrão) por frasco. Valores acima ou abaixo dessa média são considerados críticos e a linha de produção deve ser suspensa se qualquer um dos dois ocorrer. Um inspetor do controle de qualidade retira 30 amostras a cada 2 horas e precisa tomar a decisão de parar ou não a linha de produção para calibragem. Se a média amostral for de 158,20 \mathrm{ml}, o que o inspetor deveria recomendar aos responsáveis pela área de produção?

Passo 1

O enunciado diz que a linha de produção deve encher cada frasco com média \mu=160 ml e desvio-padrão conhecido \sigma=8 ml. A cada 2 h são colhidas n=30 amostras e o inspetor obteve média amostral \bar x=158{,}20 ml. Queremos testar se esse desvio em relação a 160 ml é grande o suficiente para suspender a linha. O conteúdo é teste de hipóteses para a média de uma normal com \sigma conhecido.

Passo 2

Formulamos as hipóteses bidirecionais:
H_0: \mu = 160\quad\text{versus}\quad H_1: \mu \neq 160.
Como \sigma é conhecido e n relativamente grande, usamos o teste Z.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média:
\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{30}} \approx 1{,}4606\;\text{ml}.

Passo 4

O estatístico de teste é
Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma_{\bar X}} = \frac{158{,}20 - 160}{1{,}4606} \approx -1{,}232.

Passo 5

Para nível de significância usual \alpha=0{,}05 em teste bilateral, os valores críticos são Z_{\alpha/2}=\pm1{,}96. Como
-1{,}96 < -1{,}232 < +1{,}96,
o valor de Z cai na região de não rejeição de H_0.

Passo 6

O p-valor correspondente a |Z|=1{,}232 é
p = 2\Phi(-1{,}232)\approx 2\times0{,}1093=0{,}2186,
que é bem maior que 0{,}05. Logo não há evidência para concluir que a média difira de 160 ml.

Resposta

O inspetor deve recomendar não parar a linha de produção, pois a média amostral de 158{,}20 ml não difere significativamente de 160 ml ao nível de 5\%.

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