Prove que:
, onde
é um número natural arbitrário;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo número natural
, vale
O método mais adequado aqui é a prova por indução matemática: vamos checar um caso base e depois mostrar que, se a desigualdade vale para um certo
, ela vale para
.
Passo 2
Base da indução:
.
Calculamos
Calculamos
e de fato
Logo, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para um certo
já tenhamos
Nosso objetivo agora é usar essa hipótese para provar que
Passo 4
Passo de indução propriamente dito:
Pela hipótese de indução,
, então
Como
, temos
(pois
). Combinando,
o que prova o passo de indução.
Passo 5
Concluímos que a desigualdade vale para
e que, sempre que vale para
, vale também para
. Pelo princípio da indução, segue-se que
Resposta
A desigualdade está provada por indução:
para todo
.