Prove que:
2^{n}>n, onde n é um número natural arbitrário;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número natural n, vale
2^n > n.
O método mais adequado aqui é a prova por indução matemática: vamos checar um caso base e depois mostrar que, se a desigualdade vale para um certo k, ela vale para k+1.

Passo 2

Base da indução: n=1.
Calculamos
2^1 = 2
e de fato
2 > 1.
Logo, a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para um certo k\ge1 já tenhamos
2^k > k.
Nosso objetivo agora é usar essa hipótese para provar que
2^{k+1} > k+1.

Passo 4

Passo de indução propriamente dito:
2^{k+1} = 2 \cdot 2^k.
Pela hipótese de indução, 2^k > k, então
2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2\cdot k = 2k.
Como k\ge1, temos
2k \ge k+1
(pois 2k - (k+1) = k-1 \ge 0). Combinando,
2^{k+1} > 2k \ge k+1,
o que prova o passo de indução.

Passo 5

Concluímos que a desigualdade vale para n=1 e que, sempre que vale para n=k, vale também para n=k+1. Pelo princípio da indução, segue-se que
\forall\,n\in\mathbb{N},\quad 2^n > n.

Resposta

A desigualdade está provada por indução: 2^n > n para todo n\in\mathbb{N}.

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