Encontre a solução geral da equação
(Resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que precisa resolver: $ y’’ + y = 3 \tan t $ no intervalo $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. O conteúdo aqui é de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, especificamente equações lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero: $ y’’ + y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver $ y’’ + y = 0 $, vamos supor que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Ao substituir na equação, temos:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, devemos ter $ r^2 + 1 = 0 $, o que dá $ r = \pm i $. Isso significa que as soluções são funções trigonométricas:
Aqui, $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + y = 3 \tan t $. Como o lado direito é $ 3 \tan t $, que é uma função não homogênea, vamos usar o método da variação dos parâmetros.
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea que já encontramos: $ y_1 = \cos t $ e $ y_2 = \sin t $.
A fórmula para a solução particular pelo método da variação dos parâmetros é:
Onde $ g(t) = 3 \tan t $ e $ W(t) $ é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Substituindo na fórmula:
Simplificando as integrais:
Então,
Integrando:
Substituindo de volta:
Observamos que os termos $ 3 \cos t \sin t $ se cancelam, restando:
Para simplificar, podemos ajustar a constante:
Passo 5
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação é