Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+y=3 tan t, 0 (Resposta y(t)=c1 cos t+c2 sen t- (cos t) ln (tan t+sec t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que precisa resolver: $ y’’ + y = 3 \tan t $ no intervalo $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. O conteúdo aqui é de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, especificamente equações lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero: $ y’’ + y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver $ y’’ + y = 0 $, vamos supor que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Ao substituir na equação, temos:
y'' + y = 0
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, devemos ter $ r^2 + 1 = 0 $, o que dá $ r = \pm i $. Isso significa que as soluções são funções trigonométricas:
y = e^rt
Aqui, $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + y = 3 \tan t $. Como o lado direito é $ 3 \tan t $, que é uma função não homogênea, vamos usar o método da variação dos parâmetros.
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea que já encontramos: $ y_1 = \cos t $ e $ y_2 = \sin t $.
A fórmula para a solução particular pelo método da variação dos parâmetros é:
yp(t)
Onde $ g(t) = 3 \tan t $ e $ W(t) $ é o Wronskiano das soluções homogêneas:
y'' + y = 3 tan t
Substituindo na fórmula:
3 tan t
Simplificando as integrais:
y1 = cos t
y2 = sin t
Então,
yp(t) = -y1(t) integral y2(t) cdot g(t)W(t) dt + y2(t) integral y1(t) cdot g(t)W(t) dt
Integrando:
g(t) = 3 tan t
W(t)
Substituindo de volta:
W(t) = y1 y2' - y2 y1' = cos t cdot cos t - sin t cdot (-sin t) = cos^2 t + sin^2 t = 1
Observamos que os termos $ 3 \cos t \sin t $ se cancelam, restando:
yp(t) = -cos t integral sin t cdot 3 tan t , dt + sin t integral cos t cdot 3 tan t , dt
Para simplificar, podemos ajustar a constante:
sin t cdot 3 tan t = 3 sin t cdot sin tcos t = 3 sin^2 tcos t

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(t) = yh(t) + yp(t) = c1 cos t + c2 sin t - cos t ln (tan t + sec t)

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = c1 cos t + c2 sin t - cos t ln (tan t + sec t)

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