A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora para e coloca gasolina numa bomba.
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora?
b) Qual a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora?

Passo 1

O enunciado diz que, em média, chegam 6 clientes por hora para abastecer numa bomba. São feitas duas perguntas:
a) Qual é a probabilidade de que exatamente 3 clientes parem em uma hora?
b) Qual é a probabilidade de que 3 clientes ou menos (isto é, até 3) parem em uma hora?
Informações relevantes fornecidas:
  • Taxa média por hora: \lambda = 6.
  • Queremos probabilidades sobre o número de clientes que chegam em uma hora (valores inteiros 0,1,2,\dots).

Passo 2

Vamos usar a fórmula que dá a probabilidade de um número fixo de ocorrências quando a média é conhecida. A fórmula é a da distribuição de Poisson (não precisa decorar o nome para a prova, mas é essa fórmula que se usa). A fórmula geral é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}
Explicando cada peça:
  • \lambda é a média esperada de ocorrências no intervalo (aqui \lambda=6).
  • k é o número exato de ocorrências cujo evento queremos a probabilidade (aqui k=3 para a letra a)).
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente e\approx 2{,}71828).
  • k! (lê-se “ k fatorial”) é o produto k!=k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot 1. Por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6.
Observação prática: quando k são poucos termos (como 0 a 3), somamos os termos explicitamente; quando k é grande pode ser mais prático usar o complementar 1-\sum_{k=0}^{m-1}P(X=k) ou tabela/calculadora. Aqui somaremos explicitamente porque são só quatro termos.

Passo 3

Calculemos a probabilidade de exatamente 3 clientes ( k=3). Aplicando a fórmula:
P(X=3)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{3}}{3!}
Substituindo \lambda=6:
P(X=3)=e^{-6}\,\frac{6^{3}}{3!}.
Agora calcule as partes numéricas passo a passo:
  • 6^{3}=6\cdot6\cdot6=216.
  • 3!=6.
    Logo
\frac{6^{3}}{3!}=\frac{216}{6}=36.
Portanto
P(X=3)=36\,e^{-6}.
Para um valor numérico aproximado usamos e^{-6}\approx 0{,}002478752. Multiplicando:
P(X=3)\approx 36\times 0{,}002478752 \approx 0{,}089235.

Passo 4

Agora a probabilidade de “ 3 clientes ou menos” significa somar as probabilidades para k=0,1,2,3:
P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3} e^{-6}\,\frac{6^{k}}{k!}.
Vamos calcular cada termo separadamente (mostrando como obter cada um):
  • Para k=0:
P(X=0)=e^{-6}\,\frac{6^{0}}{0!}=e^{-6}\,\frac{1}{1}=e^{-6}\approx 0{,}002478752.
  • Para k=1:
P(X=1)=e^{-6}\,\frac{6^{1}}{1!}=6\,e^{-6}\approx 6\times 0{,}002478752 \approx 0{,}014872513.
  • Para k=2:
P(X=2)=e^{-6}\,\frac{6^{2}}{2!}=e^{-6}\,\frac{36}{2}=18\,e^{-6}\approx 18\times 0{,}002478752 \approx 0{,}044617539.
  • Para k=3 já calculamos:
P(X=3)=36\,e^{-6}\approx 0{,}089235078.
Agora somamos os quatro termos:
P(X\le 3)\approx 0{,}002478752 + 0{,}014872513 + 0{,}044617539 + 0{,}089235078.
Somando com cuidado (passo a passo):
  • 0{,}002478752 + 0{,}014872513 = 0{,}017351265
  • 0{,}017351265 + 0{,}044617539 = 0{,}061968804
  • 0{,}061968804 + 0{,}089235078 = 0{,}151203882
Arredondando convenientemente,
P(X\le 3)\approx 0{,}151204.

Passo 5

Resumo rápido e dica de prova: para exatamente k use sempre P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^{k}/k!. Para “até m” você pode somar explicitamente se m pequeno (como aqui), ou usar P(X\le m)=1-P(X\ge m+1) se for mais vantajoso calcular o complemento. Não se esqueça de calcular os fatores k! e potências \lambda^{k} antes de multiplicar por e^{-\lambda}.

Resposta

a) P(X=3)=36\,e^{-6}\approx 0{,}089235.
b) P(X\le 3)\approx 0{,}151204.

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