A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora para e coloca gasolina numa bomba.
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora?
b) Qual a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora?
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora?
b) Qual a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora?
Passo 1
O enunciado diz que, em média, chegam
clientes por hora para abastecer numa bomba. São feitas duas perguntas:
a) Qual é a probabilidade de que exatamente clientes parem em uma hora?
b) Qual é a probabilidade de que clientes ou menos (isto é, até
) parem em uma hora?
a) Qual é a probabilidade de que exatamente
b) Qual é a probabilidade de que
Informações relevantes fornecidas:
- Taxa média por hora:
. - Queremos probabilidades sobre o número de clientes que chegam em uma hora (valores inteiros
).
Passo 2
Vamos usar a fórmula que dá a probabilidade de um número fixo de ocorrências quando a média é conhecida. A fórmula é a da distribuição de Poisson (não precisa decorar o nome para a prova, mas é essa fórmula que se usa). A fórmula geral é:
Explicando cada peça:
-
é a média esperada de ocorrências no intervalo (aqui ). -
é o número exato de ocorrências cujo evento queremos a probabilidade (aqui para a letra a)). -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ). -
(lê-se “ fatorial”) é o produto . Por exemplo, .
Observação prática: quando
são poucos termos (como
a
), somamos os termos explicitamente; quando
é grande pode ser mais prático usar o complementar
ou tabela/calculadora. Aqui somaremos explicitamente porque são só quatro termos.
Passo 3
Calculemos a probabilidade de exatamente
clientes (
). Aplicando a fórmula:
Substituindo
:
Agora calcule as partes numéricas passo a passo:
-
. -
.
Logo
Portanto
Para um valor numérico aproximado usamos
. Multiplicando:
Passo 4
Agora a probabilidade de “
clientes ou menos” significa somar as probabilidades para
:
Vamos calcular cada termo separadamente (mostrando como obter cada um):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
já calculamos:
Agora somamos os quatro termos:
Somando com cuidado (passo a passo):
Arredondando convenientemente,
Passo 5
Resumo rápido e dica de prova: para exatamente
use sempre
. Para “até
” você pode somar explicitamente se
pequeno (como aqui), ou usar
se for mais vantajoso calcular o complemento. Não se esqueça de calcular os fatores
e potências
antes de multiplicar por
.
Resposta
a)
b)
b)