Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
A operação (*) sobre
definida por
.
A operação (*) sobre
Passo 1
O enunciado dá uma operação binária
sobre
(os números racionais) definida por
para quaisquer
. As perguntas são: a operação é associativa? a operação é comutativa?
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa comutatividade e testar isso de forma direta.
Definição (comutatividade): Uma operação binária
é comutativa se, para todo
,
Aqui temos
Pela propriedade usual da soma,
. Substituindo,
Portanto a igualdade vale para quaisquer
, logo a operação é comutativa. (Resumo: soma é comutativa e o fator
não altera isso.)
Passo 3
Agora veremos associatividade.
Definição (associatividade): Uma operação binária
é associativa se, para todo
,
Vamos calcular cada lado separadamente e comparar.
Calcule
.
então
Para simplificar essa expressão, coloque a soma no mesmo denominador:
Dividindo por
(isto é, multiplicando por
) obtemos
Calcule
.
então
Colocando tudo num único numerador:
e dividindo por
resulta
Comparando os dois resultados:
Essas frações são iguais para todos
somente se
Subtraindo
de ambos os lados e rearranjando,
Isso mostra que a igualdade só ocorre quando
. Como associatividade exige que a igualdade ocorra para todos
, a propriedade não vale em geral.
Passo 4
Para tornar a não-associatividade mais concreta, dê um contraexemplo numérico simples. Tome
,
,
. Então
enquanto
Como
, isso confirma que a operação não é associativa.
Resposta
Associativa: não
Comutativa: sim
Comutativa: sim