Determine quais das seguintes operações binárias são associativa (comutativa):
A operação (*) sobre \mathbb{Q} definida por a * b=\frac{a+b}{5}.

Passo 1

O enunciado dá uma operação binária * sobre \mathbb{Q} (os números racionais) definida por
a * b = \frac{a+b}{5},
para quaisquer a,b\in\mathbb{Q}. As perguntas são: a operação é associativa? a operação é comutativa?

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa comutatividade e testar isso de forma direta.
Definição (comutatividade): Uma operação binária * é comutativa se, para todo a,b\in\mathbb{Q},
a*b = b*a.
Aqui temos
a*b=\frac{a+b}{5}.
Pela propriedade usual da soma, a+b=b+a. Substituindo,
a*b=\frac{a+b}{5}=\frac{b+a}{5}=b*a.
Portanto a igualdade vale para quaisquer a,b, logo a operação é comutativa. (Resumo: soma é comutativa e o fator 1/5 não altera isso.)

Passo 3

Agora veremos associatividade.
Definição (associatividade): Uma operação binária * é associativa se, para todo a,b,c\in\mathbb{Q},
(a*b)*c = a*(b*c).
Vamos calcular cada lado separadamente e comparar.
Calcule (a*b)*c.
a*b=\frac{a+b}{5},
então
(a*b)*c = \frac{\frac{a+b}{5} + c}{5}.
Para simplificar essa expressão, coloque a soma no mesmo denominador:
\frac{a+b}{5} + c = \frac{a+b + 5c}{5}.
Dividindo por 5 (isto é, multiplicando por 1/5) obtemos
(a*b)*c = \frac{a+b+5c}{25}.
Calcule a*(b*c).
b*c=\frac{b+c}{5},
então
a*(b*c) = \frac{a + \frac{b+c}{5}}{5}.
Colocando tudo num único numerador:
a + \frac{b+c}{5} = \frac{5a + b + c}{5},
e dividindo por 5 resulta
a*(b*c) = \frac{5a + b + c}{25}.
Comparando os dois resultados:
(a*b)*c = \frac{a+b+5c}{25},\qquad a*(b*c)=\frac{5a+b+c}{25}.
Essas frações são iguais para todos a,b,c somente se
a+b+5c = 5a + b + c.
Subtraindo b de ambos os lados e rearranjando,
a + 5c = 5a + c \quad\Longrightarrow\quad 4c = 4a \quad\Longrightarrow\quad a = c.
Isso mostra que a igualdade só ocorre quando a=c. Como associatividade exige que a igualdade ocorra para todos a,b,c, a propriedade não vale em geral.

Passo 4

Para tornar a não-associatividade mais concreta, dê um contraexemplo numérico simples. Tome a=1, b=0, c=0. Então
(a*b)*c = \frac{a+b+5c}{25} = \frac{1+0+0}{25}=\frac{1}{25},
enquanto
a*(b*c)=\frac{5a+b+c}{25}=\frac{5\cdot1+0+0}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}.
Como \frac{1}{25}\neq\frac{1}{5}, isso confirma que a operação não é associativa.

Resposta

Associativa: não
Comutativa: sim

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