Encontre r(t) sendo:
r^prime(t)=3 t^2 i+-8 t j+8 t^3 k e r(1)=3 i+7 j

Passo 1

O enunciado pede para achar a função vetorial r(t) sabendo sua derivada r'(t)=3t^2,i-8t,j+8t^3,k e a condição inicial r(1)=3,i+7,j. O conteúdo envolve integração de funções vetoriais e aplicação de condição inicial para determinar constantes.

Passo 2

Para encontrar r(t), integramos cada componente de r'(t) em relação a t:
integral 3t^2,dt = t^3 + C1,
integral (-8t),dt = -4t^2 + C2,
integral 8t^3,dt = 2t^4 + C3
Então:
r(t) = (t^3 + C1),i + (-4t^2 + C2),j + (2t^4 + C3),k

Passo 3

Agora usamos a condição inicial r(1)=3,i+7,j. Ao substituir t=1 em r(t) obtemos:
r(1) = (1 + C1),i + (-4 + C2),j + (2 + C3),k
Igualando-se às componentes de 3,i+7,j+0,k, temos:
1 + C1 = 3, -4 + C2 = 7, 2 + C3 = 0
Logo C1 = 2, C2 = 11 e C3 = -2.

Passo 4

Substituindo as constantes em r(t), chegamos à solução completa:

Resposta

r(t) = (t^3 + 2),i + (-4t^2 + 11),j + (2t^4 - 2),k

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