Sejam y=y(x), z=z(x) funções diferenciáveis em R e dadas implicitamente pelo sistema
l 2 x+y-z=3 x+y+z=1
Determine um par de funções y=y(x) e z=z(x) que sejam dadas implicitamente pelo sistema (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de duas equações com duas incógnitas, que são as funções $ y = y(x) $ e $ z = z(x) $. O sistema é:
y = y(x)
O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para resolver esse sistema e encontrar as funções $ y(x) $ e $ z(x) $, vamos precisar isolar uma das variáveis em uma das equações e depois substituir na outra. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o sistema para facilitar. Olhando para as duas equações:
  1. $ 2x + y - z = 3 $
  2. $ x + y + z = 1 $
Vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos somar as duas equações para eliminar o $ z $:
2x + y - z = 3
Simplificando:
x + y + z = 1
Agora temos uma nova equação: $ 3x + 2y = 4 $. Vamos usar essa para encontrar $ y $ em termos de $ x $.

Passo 3

Vamos isolar o $ y $ na equação que obtivemos:
y
Subtraindo $ 3x $ de ambos os lados:
3x + 2y = 4
Agora, dividindo ambos os lados por 2:
3x
Então, encontramos que:
2y = 4 - 3x

Passo 4

Agora que temos $ y(x) $, vamos encontrar $ z(x) $. Para isso, podemos usar uma das equações originais. Vamos usar a segunda:
y(x)
Já sabemos que $ y = 2 - \frac{3}{2}x $, então substituímos na equação:
z(x)
Simplificando:
x + y + z = 1
Combinando termos semelhantes:
y = 2 - 32x
x + (2 - 32x) + z = 1

Passo 5

Vamos isolar o $ z $:
z
Subtraindo $ -\frac{1}{2}x $ e $ 2 $ de ambos os lados:
-12x + 2 + z = 1
-12x
Então, encontramos que:
2

Resposta

As funções que satisfazem o sistema são:
y(x) = 2 - 32x e z(x) = 12x - 1

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