Sejam
funções diferenciáveis em
e dadas implicitamente pelo sistema
Determine um par de funções
e
que sejam dadas implicitamente pelo sistema (1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de duas equações com duas incógnitas, que são as funções $ y = y(x) $ e $ z = z(x) $. O sistema é:
O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para resolver esse sistema e encontrar as funções $ y(x) $ e $ z(x) $, vamos precisar isolar uma das variáveis em uma das equações e depois substituir na outra. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o sistema para facilitar. Olhando para as duas equações:
- $ 2x + y - z = 3 $
- $ x + y + z = 1 $
Vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos somar as duas equações para eliminar o $ z $:
Simplificando:
Agora temos uma nova equação: $ 3x + 2y = 4 $. Vamos usar essa para encontrar $ y $ em termos de $ x $.
Passo 3
Vamos isolar o $ y $ na equação que obtivemos:
Subtraindo $ 3x $ de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por 2:
Então, encontramos que:
Passo 4
Agora que temos $ y(x) $, vamos encontrar $ z(x) $. Para isso, podemos usar uma das equações originais. Vamos usar a segunda:
Já sabemos que $ y = 2 - \frac{3}{2}x $, então substituímos na equação:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Passo 5
Vamos isolar o $ z $:
Subtraindo $ -\frac{1}{2}x $ e $ 2 $ de ambos os lados:
Então, encontramos que:
Resposta
As funções que satisfazem o sistema são: