(2 pontos) A função y=f(x), y>0, é dada implicitamente pela equação x^2+4 y^2=2.
Por meio de derivação implícita, calcule a derivada d yd x, como uma expressão em termos de x e y.

Passo 1

O enunciado dá uma função implícita x^2 + 4y^2 = 2, com y>0, e pede para calcular dydx em termos de x e y. O conteúdo é derivação implícita, usando a regra da cadeia e derivadas de potências.

Passo 2

Derivamos ambos os lados da equação em relação a x. Lembre que ao derivar y em função de x, aparece dydx por causa da regra da cadeia. Assim:
ddxl(x^2r) + ddxl(4y^2r) = ddx(2)
Calculando cada derivada:
2x + 4cdot 2y cdot dydx = 0
Isso dá
2x + 8ydydx = 0

Passo 3

Agora isolamos dydx:
8ydydx = -2x
dydx = -2x8y
Simplificando a fração:
dydx = -x4y

Resposta

-x4y

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