Supose that a particular material application calls for tensile stress to be applied to a well insulated Crystal at 300 K . The experimental setup is capable to detect temperature variations in the order of 0.001 K :
(a) Show that for tensile stress it is possible to write the following expression:
\left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}=-\frac{T \alpha V}{3 C_{p}}
(b) Calculate the minimum stress variation which can be detected by this equipment. Consider the crystal density as 10^{4} \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, molecular weight of 100 , the value of \alpha=4.00 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1} and the heat capacity at constant pressure as 27.2 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado pede e quais informações temos à disposição.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. (a) Mostrar que, para tensões de tração aplicadas a um cristal bem isolado (processo adiabático), vale a expressão \left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}=-\frac{T \alpha V}{3 C_{p}}.
    2. (b) Calcular a menor variação de tensão detectável pelo equipamento, sabendo que ele detecta variações de temperatura da ordem de 0{,}001\\ \mathrm{K}.
  • Informações numéricas fornecidas para (b):
    • Temperatura inicial T=300\\ \mathrm{K} (dado do enunciado).
    • Resolução de temperatura mínima detectável \Delta T_{\min}=0{,}001\\ \mathrm{K}.
    • Densidade do cristal \rho=10^{4}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Massa molar M=100 (isto é 100\\ \mathrm{g/mol}=0{,}100\\ \mathrm{kg/mol}).
    • Coeficiente de expansão térmica volumétrica \alpha=4{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
    • Capacidade calorífica a pressão constante por mol C_{p}=27{,}2\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
Observações importantes para usar esses dados:
  • A fórmula pedida envolve V e C_{p}. Para trabalhar de forma consistente podemos usar volumes e capacidades molares (isto é, V será o volume molar V_{m}=M/\rho em \mathrm{m^{3}/mol} e C_p é dado por mol, então as unidades batem).
  • O cristal está bem isolado => processo adiabático (sem troca de calor). O enunciado usa o subíndice Q para indicar condição de calor constante (adiabático). Em termodinâmica de sólidos isso se traduz em diferenciais com entropia constante (ou seja, variações rápidas sem troca de calor).
  • Não há figura, então usamos as relações termodinâmicas padrão (Maxwell, definição de \alpha, relação entre pressão hidrostática e tensões normais).

Passo 2

Primeiro objetivo: obter a relação para um caso hidrostático (pressão) que é a base do resultado pedido.
  • Definição do coeficiente de expansão térmica volumétrico:
    \alpha \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
    Aqui V é o volume do sistema (se usarmos volume molar, V=V_m), T a temperatura e P a pressão.
  • Definição de capacidade calorífica a pressão constante (por mol, no nosso caso):
    C_{p} \equiv T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P},
    onde S é a entropia molar.
  • Escrevemos a diferencial da entropia S como função natural T e P. A identidade termodinâmica (obtida de relações termodinâmicas ou de dG=-S\,dT+V\,dP e de Maxwell) dá:
    dS=\left(\frac{C_{p}}{T}\right)dT -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} dP.
    Explicando: o primeiro termo vem da definição de C_p, o segundo vem da relação de Maxwell \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
  • Para um processo adiabático (bem isolado) a entropia é constante infinitesimalmente, então dS=0. Substituindo:
    0=\left(\frac{C_{p}}{T}\right)dT -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} dP.
    Rearranjando para obter a derivada desejada em condições adiabáticas:
    \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S}=\frac{T}{C_{p}}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
    Agora usamos a definição de \alpha:
    \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}= \alpha V.
    Logo:
    \boxed{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S}=\frac{T \alpha V}{C_{p}}.}
    Comentário físico rápido: aumentar pressão hidrostática (compressão) numa transformação adiabática tende a aumentar a temperatura se \alpha>0; a expressão tem sinal positivo conforme essa intuição.

Passo 3

Agora vamos relacionar pressão hidrostática P com a tensão de tração \sigma aplicada ao cristal e converter a derivada obtida em função de P para uma em função de \sigma.
  • Em mecânica dos sólidos a pressão hidrostática (ou tensão média) é proporcional à traço do tensor de tensões. Definindo o tensor de tensões \sigma_{ij}, a pressão hidrostática convencional p é
    p=-\frac{1}{3}\,(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) = -\frac{1}{3}\operatorname{tr}(\sigma_{ij}).
    Essa definição tem o sinal negativo porque pressão positiva corresponde a compressão; tensões de tração positivas dão p negativo.
  • No caso simples pedido: aplicar uma tensão de tração uniaxial \sigma numa direção (digamos eixo x) e assumir que as outras componentes principais da tensão são nulas, então
    \sigma_{xx}=\sigma,\qquad \sigma_{yy}=0,\qquad \sigma_{zz}=0,
    e portanto a pressão equivalente é
    p=-\frac{1}{3}\sigma.
    Observação: se existissem tensões secundárias ou condições diferentes o fator poderia mudar, mas esse é o caso usual quando se relaciona tensão uniaxial com pressão média.
  • Agora aplicamos regra da cadeia para passar de derivada em relação a p para derivada em relação a \sigma, mantendo a condição adiabática (subscrito S ou Q no enunciado):
    \left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{S}= \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{S}\left(\frac{\partial p}{\partial \sigma}\right).
    Mas \dfrac{\partial p}{\partial \sigma}=-\dfrac{1}{3}. Substituindo a expressão do passo anterior:
    \left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{S}=\frac{T \alpha V}{C_{p}}\left(-\frac{1}{3}\right) =-\frac{T \alpha V}{3 C_{p}}.
  • Como o sistema está bem isolado, a condição Q do enunciado corresponde a condição adiabática S= constante, então podemos escrever finalmente
    \boxed{\left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}=-\frac{T \alpha V}{3 C_{p}}.}
    Isso conclui a demonstração pedida em (a). Intuição: uma tração positiva (aumentar \sigma) equivale a um “pushing” negativo de pressão média, o que, devido ao sinal, causa diminuição de T em um processo adiabático se \alpha>0.

Passo 4

Agora parte (b): calcular a menor variação de tensão detectável, considerando a resolução térmica \Delta T_{\min}=0{,}001\\ \mathrm{K}.
  • Para pequenas variações lineares podemos escrever aproximadamente
    \Delta T \approx \left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}\Delta \sigma.
    Tomando módulo (porque estamos interessados na mínima magnitude de \Delta\sigma que cause |\Delta T|=\Delta T_{\min}):
    \Delta \sigma_{\min} = \frac{\Delta T_{\min}}{\left|\left(\dfrac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}\right|}.
  • Substituímos a expressão obtida no passo anterior:
    \left|\left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}\right|=\frac{T \alpha V}{3 C_{p}}.
    Usaremos volumes e capacidades molares:
    • Volume molar V_{m}=\dfrac{M}{\rho}. Com M=0{,}100\\ \mathrm{kg/mol} e \rho=10^{4}\\ \mathrm{kg/m^{3}} temos V_{m}=\frac{0{,}100}{10^{4}}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
    • Capacidade molar C_{p}=27{,}2\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
    • Substituindo valores numa expressão numérica: \left|\left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}\right| =\frac{T\\ \alpha\\ V_{m}}{3 C_{p}} =\frac{300\times(4{,}00\times10^{-5})\times(1{,}0\times10^{-5})}{3\times27{,}2}.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro calcule o produto T\alpha V_{m}:
    T\alpha V_{m}=300\times 4{,}00\times10^{-5}\times 1{,}0\times10^{-5} =300\times 4{,}00\times10^{-10}=1200\times10^{-10}=1{,}20\times10^{-7}.
    Unidade: \mathrm{m^{3}/mol} (como discutido antes, ao dividir por C_p as unidades viram \mathrm{K/Pa}).
  • Agora o denominador 3 C_{p}=3\times27{,}2=81{,}6\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
  • Dividindo:
    \left|\left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}\right| =\frac{1{,}20\times10^{-7}}{81{,}6}\approx 1{,}4706\times10^{-9}\\ \mathrm{K/Pa}.
  • Finalmente a menor variação de tensão detectável é
    \Delta\sigma_{\min}=\frac{\Delta T_{\min}}{\left|\left(\dfrac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}\right|} =\frac{1{,}0\times10^{-3}}{1{,}4706\times10^{-9}} \approx 6{,}80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    Em unidades mais usuais:
    \Delta\sigma_{\min}\approx 6{,}80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=0{,}680\\ \mathrm{MPa}.
Pequena motivação: esse valor de ordem 10^{5}\!-\!10^{6}\\ \mathrm{Pa} (centenas de kPa a MPa) é razoável fisicamente, porque materiais sólidos têm coeficientes de expansão pequenos e calor específico não muito pequeno, logo a temperatura varia pouco para tensões pequenas; é necessário aplicar tensões relativamente grandes para gerar 0{,}001 K de aquecimento/resfriamento adiabático detectável.

Resposta

\left(\dfrac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}=-\dfrac{T \alpha V}{3 C_{p}}
\Delta\sigma_{\min}\approx 6{,}80\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 0{,}680\\ \mathrm{MPa})

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