Supose that a particular material application calls for tensile stress to be applied to a well insulated Crystal at 300 K . The experimental setup is capable to detect temperature variations in the order of 0.001 K :
(a) Show that for tensile stress it is possible to write the following expression:
(b) Calculate the minimum stress variation which can be detected by this equipment. Consider the crystal density as 10^{4} \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, molecular weight of 100 , the value of \alpha=4.00 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1} and the heat capacity at constant pressure as 27.2 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}.
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado pede e quais informações temos à disposição.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Mostrar que, para tensões de tração aplicadas a um cristal bem isolado (processo adiabático), vale a expressão\left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}=-\frac{T \alpha V}{3 C_{p}}.
(b) Calcular a menor variação de tensão detectável pelo equipamento, sabendo que ele detecta variações de temperatura da ordem de 0{,}001\\ \mathrm{K}.
Informações numéricas fornecidas para (b):
Temperatura inicial T=300\\ \mathrm{K} (dado do enunciado).
Resolução de temperatura mínima detectável \Delta T_{\min}=0{,}001\\ \mathrm{K}.
Densidade do cristal \rho=10^{4}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Massa molar M=100 (isto é 100\\ \mathrm{g/mol}=0{,}100\\ \mathrm{kg/mol}).
Coeficiente de expansão térmica volumétrica \alpha=4{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Capacidade calorífica a pressão constante por mol C_{p}=27{,}2\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
Observações importantes para usar esses dados:
A fórmula pedida envolve V e C_{p}. Para trabalhar de forma consistente podemos usar volumes e capacidades molares (isto é, V será o volume molar V_{m}=M/\rho em \mathrm{m^{3}/mol} e C_p é dado por mol, então as unidades batem).
O cristal está bem isolado => processo adiabático (sem troca de calor). O enunciado usa o subíndice Q para indicar condição de calor constante (adiabático). Em termodinâmica de sólidos isso se traduz em diferenciais com entropia constante (ou seja, variações rápidas sem troca de calor).
Não há figura, então usamos as relações termodinâmicas padrão (Maxwell, definição de \alpha, relação entre pressão hidrostática e tensões normais).
Passo 2
Primeiro objetivo: obter a relação para um caso hidrostático (pressão) que é a base do resultado pedido.
Definição do coeficiente de expansão térmica volumétrico:
Escrevemos a diferencial da entropia S como função natural T e P. A identidade termodinâmica (obtida de relações termodinâmicas ou de dG=-S\,dT+V\,dP e de Maxwell) dá:
Explicando: o primeiro termo vem da definição de C_p, o segundo vem da relação de Maxwell \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Para um processo adiabático (bem isolado) a entropia é constante infinitesimalmente, então dS=0. Substituindo:
Comentário físico rápido: aumentar pressão hidrostática (compressão) numa transformação adiabática tende a aumentar a temperatura se \alpha>0; a expressão tem sinal positivo conforme essa intuição.
Passo 3
Agora vamos relacionar pressão hidrostática P com a tensão de tração \sigma aplicada ao cristal e converter a derivada obtida em função de P para uma em função de \sigma.
Em mecânica dos sólidos a pressão hidrostática (ou tensão média) é proporcional à traço do tensor de tensões. Definindo o tensor de tensões \sigma_{ij}, a pressão hidrostática convencional p é
Essa definição tem o sinal negativo porque pressão positiva corresponde a compressão; tensões de tração positivas dão p negativo.
No caso simples pedido: aplicar uma tensão de tração uniaxial \sigma numa direção (digamos eixo x) e assumir que as outras componentes principais da tensão são nulas, então
Observação: se existissem tensões secundárias ou condições diferentes o fator poderia mudar, mas esse é o caso usual quando se relaciona tensão uniaxial com pressão média.
Agora aplicamos regra da cadeia para passar de derivada em relação a p para derivada em relação a \sigma, mantendo a condição adiabática (subscrito S ou Q no enunciado):
Isso conclui a demonstração pedida em (a). Intuição: uma tração positiva (aumentar \sigma) equivale a um “pushing” negativo de pressão média, o que, devido ao sinal, causa diminuição de T em um processo adiabático se \alpha>0.
Passo 4
Agora parte (b): calcular a menor variação de tensão detectável, considerando a resolução térmica \Delta T_{\min}=0{,}001\\ \mathrm{K}.
Para pequenas variações lineares podemos escrever aproximadamente
\Delta T \approx \left(\frac{\partial T}{\partial \sigma}\right)_{Q}\Delta \sigma.
Tomando módulo (porque estamos interessados na mínima magnitude de \Delta\sigma que cause |\Delta T|=\Delta T_{\min}):
Pequena motivação: esse valor de ordem 10^{5}\!-\!10^{6}\\ \mathrm{Pa} (centenas de kPa a MPa) é razoável fisicamente, porque materiais sólidos têm coeficientes de expansão pequenos e calor específico não muito pequeno, logo a temperatura varia pouco para tensões pequenas; é necessário aplicar tensões relativamente grandes para gerar 0{,}001 K de aquecimento/resfriamento adiabático detectável.