(†) The yield of a chemical process is being studied. From previous experience, yield is known to be normally distributed and \sigma=3. The past five days of plant operation have resulted in the following percent yields: 91.6,88.75,90.8,89.95, and 91.3 . Find a 95 \% two-sided confidence interval on the true mean yield.

Passo 1

O que o enunciado pede: um intervalo de confiança bilateral de 95\% para a média verdadeira da produção (yield) do processo.
Informações dadas:
  • Observações (percentuais) dos últimos cinco dias: \;91{,}6,\;88{,}75,\;90{,}8,\;89{,}95,\;91{,}3.
  • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma=3.
  • Pressuposto: a yield é normalmente distribuída (isso justifica usar a distribuição normal mesmo com n pequeno).
  • Tamanho da amostra: n=5.

Passo 2

Fórmula do intervalo de confiança quando \sigma é conhecido:
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (o que vamos calcular a partir dos dados).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 na cauda superior. Para um intervalo de confiança de 95\%, temos \alpha=0{,}05 e z_{0{,}025}=1{,}96.
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui 3).
  • n é o tamanho da amostra (aqui 5).
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x}.
Somamos as observações:
91{,}6 + 88{,}75 + 90{,}8 + 89{,}95 + 91{,}3 = 452{,}40
Dividimos por n=5:
\bar{x} = \frac{452{,}40}{5} = 90{,}48

Passo 4

Calcular o erro padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Primeiro \sqrt{n}=\sqrt{5}\approx 2{,}23607.
Portanto
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\approx \frac{3}{2{,}23607}\approx 1{,}34164.

Passo 5

Calcular a margem de erro usando z_{0{,}025}=1{,}96:
\text{margem} = z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}96 \times 1{,}34164 \approx 2{,}6288.

Passo 6

Construir o intervalo somando e subtraindo a margem de erro à média amostral:
Limite inferior:
\bar{x} - \text{margem} = 90{,}48 - 2{,}6288 \approx 87{,}8512.
Limite superior:
\bar{x} + \text{margem} = 90{,}48 + 2{,}6288 \approx 93{,}1088.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (já que os dados têm duas casas decimais):
(87{,}85,\;93{,}11)

Passo 7

Interpretação curta e motivadora: isso significa que, com 95\% de confiança, a verdadeira média da yield do processo está entre 87{,}85\% e 93{,}11\%. Tá ficando bom — você já sabe calcular e interpretar um intervalo quando \sigma é conhecido!

Resposta

(87{,}85,\;93{,}11)

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