(†) The yield of a chemical process is being studied. From previous experience, yield is known to be normally distributed and
. The past five days of plant operation have resulted in the following percent yields:
, and 91.3 . Find a
two-sided confidence interval on the true mean yield.
Passo 1
O que o enunciado pede: um intervalo de confiança bilateral de
para a média verdadeira da produção (yield) do processo.
Informações dadas:
- Observações (percentuais) dos últimos cinco dias:
. - Desvio padrão populacional conhecido:
. - Pressuposto: a yield é normalmente distribuída (isso justifica usar a distribuição normal mesmo com
pequeno). - Tamanho da amostra:
.
Passo 2
Fórmula do intervalo de confiança quando
é conhecido:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (o que vamos calcular a partir dos dados). -
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa na cauda superior. Para um intervalo de confiança de , temos e . -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o erro padrão da média.
Passo 3
Calcular a média amostral
.
Somamos as observações:
Dividimos por
:
Passo 4
Calcular o erro padrão
.
Primeiro
.
Portanto
Passo 5
Calcular a margem de erro usando
:
Passo 6
Construir o intervalo somando e subtraindo a margem de erro à média amostral:
Limite inferior:
Limite superior:
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (já que os dados têm duas casas decimais):
Passo 7
Interpretação curta e motivadora: isso significa que, com
de confiança, a verdadeira média da yield do processo está entre
e
. Tá ficando bom — você já sabe calcular e interpretar um intervalo quando
é conhecido!