A confidence interval estimate is desired for the gain in a circuit on a semiconductor device. Assume that gain is normally distributed with standard deviation \mathrm{s}=20.
Find a 99 \% CI for m when n=25 and \bar{x}=1000.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança para a média \mu do ganho do circuito. As informações dadas são:
  • A variável é normalmente distribuída.
  • Desvio padrão conhecido \sigma = 20.
  • Tamanho da amostra n = 25.
  • Média amostral \bar{x} = 1000.
  • Nível de confiança 99\%.
Então a pergunta é: calcular o intervalo de confiança de 99\% para \mu com esses dados.

Passo 2

Qual fórmula usar — explicação didática:
Quando a variância (ou o desvio padrão) da população é conhecida e a amostra vem de uma distribuição normal, o intervalo de confiança para a média \mu é dado por
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=1000).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=20).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
  • \alpha é o nível de significância, \alpha = 1 - nível de confiança. Para 99\% temos \alpha = 0,01.
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita dele é \alpha/2. Ou seja, P(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2.
Explicando o z_{\alpha/2} de um jeito prático: para 99\% de confiança temos \alpha/2 = 0,005. O valor z_{0,005} é aproximadamente 2,5758 (tabela da normal padrão ou calculadora).

Passo 3

Calcular o erro padrão (standard error), que é \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{25}}=\frac{20}{5}=4.
Interpretação: esse 4 é a “variabilidade” típica da média amostral.

Passo 4

Calcular a margem de erro E = z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Usando z_{0,005}\approx 2,5758 e o erro padrão 4,
E \approx 2,5758 \times 4 = 10,3032.
Arredondando razoavelmente, E \approx 10,30.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
\text{limite inferior} = \bar{x} - E = 1000 - 10,3032 \approx 989,6968,
\text{limite superior} = \bar{x} + E = 1000 + 10,3032 \approx 1010,3032.
Arredondando para duas casas decimais, o intervalo fica aproximadamente (989,70;\;1010,30).

Passo 6

Interpretação final (modo prova): com nível de confiança 99\%, podemos afirmar que o intervalo (989,70;\;1010,30) contém o verdadeiro valor da média \mu do ganho. Ou seja, estamos 99\% confiantes de que \mu está entre 989,70 e 1010,30.

Resposta

\mu \in (989,70;\;1010,30)

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