Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
integral-infty^infty cos xx^4+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral real:
integral-infty^infty cos xx^4+1 , dx
Aqui, vamos usar Cálculo de Resíduos, que faz parte da matéria de Análise Complexa. Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre funções complexas e os chamados “resíduos” dessas funções nos polos (pontos onde a função “explode” ou se torna infinita).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar funções que envolvem cosseno sobre todo o eixo real, podemos usar a extensão para o plano complexo. Ou seja, vamos considerar a função complexa
f(z) = e^izz^4 + 1
onde e^iz = cos z + i sin z . A ideia é que a parte real dessa função será a nossa integral original.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os polos da função f(z) . Polos são os valores de z que tornam o denominador zero:
z^4 + 1 = 0 implies z^4 = -1 implies z = e^ipi4 + ikpi2, k = 0,1,2,3
Isso nos dá quatro raízes:
z1 = e^ipi4 = raiz22 + iraiz22
z2 = e^i3pi4 = -raiz22 + iraiz22
z3 = e^i5pi4 = -raiz22 - iraiz22
z4 = e^i7pi4 = raiz22 - iraiz22

Passo 4

Focamos nos polos que estão no semiplano superior (com a parte imaginária positiva), pois vamos fechar o contorno de integração nesse semiplano. Assim, consideramos z1 e z2 .
Para cada polo, calculamos o resíduo da função f(z) :
Res(f, zk) = e^izk4zk^3
Calculando para z1 e z2 :
Res(f, z1) = e^iz14z1^3, Res(f, z2) = e^iz24z2^3

Passo 5

Aplicamos agora o Teorema dos Resíduos, que nos diz que a integral ao longo do contorno fechado é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno. Portanto:
integral-infty^infty e^ixx^4+1 , dx = 2pi i ( Res(f, z1) + Res(f, z2) )
Como queremos a parte real dessa integral (que é a nossa integral original com o cosseno), extraímos apenas essa parte:
integral-infty^infty cos xx^4+1 , dx = 2pi ( Im[ Res(f, z1) + Res(f, z2) ] )

Passo 6

Após calcular os resíduos e realizar os cálculos necessários (que envolvem matemática complexa detalhada), chegamos à seguinte resposta final:

Resposta

integral-infty^infty cos xx^4+1 , dx = piraiz2 , e^-1raiz2

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