Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral real:
Aqui, vamos usar Cálculo de Resíduos, que faz parte da matéria de Análise Complexa. Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre funções complexas e os chamados “resíduos” dessas funções nos polos (pontos onde a função “explode” ou se torna infinita).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para integrar funções que envolvem cosseno sobre todo o eixo real, podemos usar a extensão para o plano complexo. Ou seja, vamos considerar a função complexa
onde
. A ideia é que a parte real dessa função será a nossa integral original.
Passo 3
Agora, precisamos identificar os polos da função
. Polos são os valores de
que tornam o denominador zero:
Isso nos dá quatro raízes:
Passo 4
Focamos nos polos que estão no semiplano superior (com a parte imaginária positiva), pois vamos fechar o contorno de integração nesse semiplano. Assim, consideramos
e
.
Para cada polo, calculamos o resíduo da função
:
Calculando para
e
:
Passo 5
Aplicamos agora o Teorema dos Resíduos, que nos diz que a integral ao longo do contorno fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno. Portanto:
Como queremos a parte real dessa integral (que é a nossa integral original com o cosseno), extraímos apenas essa parte:
Passo 6
Após calcular os resíduos e realizar os cálculos necessários (que envolvem matemática complexa detalhada), chegamos à seguinte resposta final: