Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
integral0^infty x sen a xx^2+b^2 d x, com a e b positivos.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral real
integral0^inftyxsin(a x)x^2+b^2,dx,
com a>0 e b>0. Vamos usar o método dos resíduos: construiremos uma função de variável complexa cuja parte imaginária sobre a reta real nos devolve o integrando original, e aplicaremos o Teorema dos Resíduos num contorno adequado.

Passo 2

Definimos
f(z)=z,e^i a zz^2+b^2
Para a>0, ao considerar o contorno Gamma formado pela reta de -R a R mais o semicírculo CR de raio R no semiplano Im z>=0, o termo e^i a z decai exponencialmente em Im z>0. Pelo lema de Jordan, a integral de f sobre CR tende a zero quando Rtoinfty. Assim,
limRtoinftyintegralGammaf(z),dz =integral-infty^inftyf(x),dx

Passo 3

As singularidades de são polos simples em . No semiplano superior fica . Calculamos o resíduo:

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,

Passo 5

Escrevendo , temos
Como é função ímpar, sua integral sobre vale zero, e portanto

Passo 6

Observe que xsin(a x)/(x^2+b^2) é função par, então
integral-infty^inftyxsin(a x)x^2+b^2,dx =2integral0^inftyxsin(a x)x^2+b^2,dx =pi,e^-a b
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integral0^inftyxsin(a x)x^2+b^2,dx =pi2,e^-a b

Resposta

boxedintegral0^inftyxsin(a x)x^2+b^2,dx =pi2,e^-a b

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