Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
, com
e
positivos.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral real
com
e
. Vamos usar o método dos resíduos: construiremos uma função de variável complexa cuja parte imaginária sobre a reta real nos devolve o integrando original, e aplicaremos o Teorema dos Resíduos num contorno adequado.
Passo 2
Definimos
Para
, ao considerar o contorno
formado pela reta de
a
mais o semicírculo
de raio
no semiplano
, o termo
decai exponencialmente em
. Pelo lema de Jordan, a integral de
sobre
tende a zero quando
. Assim,
Passo 3
As singularidades de
são polos simples em
. No semiplano superior fica
. Calculamos o resíduo:
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 5
Escrevendo
, temos
Como
é função ímpar, sua integral sobre vale zero, e portanto
Passo 6
Observe que
é função par, então
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