Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método dos resíduos. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e análise complexa. Para isso, precisamos entender sobre funções racionais e os resíduos de polos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a função
possui polos onde o denominador é zero, ou seja, quando
. Resolvendo isso, encontramos as raízes da equação
. Essas raízes são os pontos onde nossa função tem singularidades (os polos).
Passo 3
As raízes de
podem ser escritas na forma
para
. Essas raízes estão distribuídas uniformemente no círculo unitário do plano complexo. Para aplicar o teorema dos resíduos, vamos focar nas raízes que estão no semiplano superior, pois é onde construiremos nosso contorno de integração.
Passo 4
Vamos construir um contorno semi-circular no plano complexo que vai do
ao
no eixo real e retorna ao longo de um arco de círculo no semiplano superior, onde
tende ao infinito. A integral ao longo desse contorno será igual a
vezes a soma dos resíduos dentro dele, de acordo com o teorema dos resíduos.
Passo 5
Identificamos os polos no semiplano superior. Cada polo simples
contribui com um resíduo que podemos calcular usando a fórmula:
Portanto, a soma dos resíduos será
vezes a soma de
para todos os polos no semiplano superior.
Passo 6
Observando que
, temos
. Como há cinco polos no semiplano superior, a soma dos resíduos será
.
Passo 7
Aplicando o teorema dos resíduos, a integral ao longo do contorno fechado é:
Como a contribuição do arco de círculo tende a zero quando
, a integral original ao longo do eixo real também é igual a
.