Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
integral-infty^infty x^41+x^10 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-infty^infty x^41+x^10 , dx usando o método dos resíduos. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e análise complexa. Para isso, precisamos entender sobre funções racionais e os resíduos de polos no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a função x^41+x^10 possui polos onde o denominador é zero, ou seja, quando 1 + x^10 = 0. Resolvendo isso, encontramos as raízes da equação x^10 = -1. Essas raízes são os pontos onde nossa função tem singularidades (os polos).

Passo 3

As raízes de x^10 = -1 podem ser escritas na forma x = e^i(pi + 2kpi10) para k = 0, 1, 2, dots, 9. Essas raízes estão distribuídas uniformemente no círculo unitário do plano complexo. Para aplicar o teorema dos resíduos, vamos focar nas raízes que estão no semiplano superior, pois é onde construiremos nosso contorno de integração.

Passo 4

Vamos construir um contorno semi-circular no plano complexo que vai do -R ao R no eixo real e retorna ao longo de um arco de círculo no semiplano superior, onde R tende ao infinito. A integral ao longo desse contorno será igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro dele, de acordo com o teorema dos resíduos.

Passo 5

Identificamos os polos no semiplano superior. Cada polo simples zk contribui com um resíduo que podemos calcular usando a fórmula:
Res(z^41+z^10, zk) = zk^410 zk^9 = zk^-510
Portanto, a soma dos resíduos será 110 vezes a soma de zk^-5 para todos os polos no semiplano superior.

Passo 6

Observando que zk^10 = -1, temos zk^-5 = (-1)^-1/2 = -i. Como há cinco polos no semiplano superior, a soma dos resíduos será 5 times -i10 = -i2.

Passo 7

Aplicando o teorema dos resíduos, a integral ao longo do contorno fechado é:
2pi i times -i2 = pi
Como a contribuição do arco de círculo tende a zero quando R to infty, a integral original ao longo do eixo real também é igual a pi.

Resposta

pi

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