5)
A supressão das infecções da síndrome respiratória aguda grave do coronavírus 2 (SARS-CoV-2) exige a rápida identificação e isolamento dos indivíduos infectados com o vírus em uma base contínua. Os testes de reação em cadeia da polimerase de transcrição reversa (RT-PCR) são precisos, mas são caros, o que torna caro o teste regular de cada indivíduo. Esses custos são um desafio para todos os países do mundo, mas principalmente para os países de renda baixa a média. As reduções de custo podem ser alcançadas agrupando (ou combinando) subamostras e testando-as nos grupos [Mutesa et al. A pooled testing strategy for identifying SARS-CoV-2 at low prevalence. Nature 589, 276-280 (2021)].
Seja
a probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente ter a doença e ser detectável pelo teste (RT-PCR). Suponha que
indivíduos sejam independentemente selecionados para o teste. Uma forma de proceder é fazer um teste separado para cada uma das
amostras de secreções respiratórias desses indivíduos para identificar a presença do vírus. Uma abordagem potencialmente mais econômica chamada de teste agrupado pode ser utilizada. Nessa abordagem, mistura-se parte da amostra de cada indivíduo e realiza-se um único teste com essa mistura. Se ninguém tiver o vírus detectável, o resultado será negativo e apenas um teste terá sido necessário. Se ao menos um indivíduo tiver a presença do vírus detectável, o teste da amostra misturada resultará positivo e nesse caso serão processados os
testes individuais.
a. Se
e
, qual será o número esperado de testes usando esse procedimento (agrupamento)?
(arredonde a resposta final para 2 dígitos após o ponto decimal, ex: 0.00 )
b. Assuma que os testes serão efetuados nos funcionários de uma empresa. O procedimento será efetuado dividindo-se os
indivíduos a serem testados em dois grupos. Se
e o número total de funcionários a serem encaminhados para o teste é de
, qual é o número esperado de testes usando esse procedimento?
(arredonde a resposta final para 2 digitos após o ponto decimal, ex: 0.00 )
c. Assuma o procedimento utilizado na alínea (b.), porém ao invés de uma única empresa, o procedimento será feito independentemente em 2 empresas, cada uma delas possui, 46 e 32 funcionários, respectivamente. Assuma que cada teste tenha um custo de
e
. Qual é o valor esperado do custo total desses testes?
(arredonde a resposta final para 2 dígitos após o ponto decimal, ex: 0.00 )
a. Se
b. Assuma que os testes serão efetuados nos funcionários de uma empresa. O procedimento será efetuado dividindo-se os
c. Assuma o procedimento utilizado na alínea (b.), porém ao invés de uma única empresa, o procedimento será feito independentemente em 2 empresas, cada uma delas possui, 46 e 32 funcionários, respectivamente. Assuma que cada teste tenha um custo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como testar um monte de pessoas para detectar a COVID-19 de forma mais barata usando uma estratégia chamada teste agrupado. A ideia é misturar as amostras de várias pessoas e testar tudo de uma vez. Se o resultado for negativo, ninguém tem o vírus e você usou só um teste. Se der positivo, você precisa testar cada pessoa individualmente. Isso ajuda a economizar testes, especialmente quando a chance de alguém ter o vírus é baixa. Vamos usar probabilidades para calcular o número esperado de testes nessa estratégia.
Passo 2
Alínea a. Aqui, a probabilidade de uma pessoa ter o vírus é $ p = 0.12 $ e queremos testar um grupo de $ n = 4 $ pessoas juntas.
Primeiro, calculamos a probabilidade de ninguém no grupo ter o vírus. Como as pessoas são selecionadas independentemente:
Vamos calcular isso:
Isso significa que há aproximadamente 59.97% de chance de todos os 4 não terem o vírus. Nesse caso, usamos apenas 1 teste.
Agora, a probabilidade de pelo menos uma pessoa ter o vírus é:
Ou seja, 40.03% das vezes, alguém tem o vírus no grupo, e precisamos fazer 1 teste inicial + 4 testes individuais, totalizando 5 testes.
Agora, o número esperado de testes é:
Substituindo:
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta a: 2.60
Passo 3
Alínea b. Agora, temos $ p = 0.1 $, $ n = 42 $ funcionários, e vamos dividir esses 42 em dois grupos. Como não foi especificado o tamanho de cada grupo, vamos assumir que dividiremos igualmente, ou seja, 21 em cada grupo.
Para cada grupo de 21 pessoas, fazemos o mesmo cálculo:
Primeiro, a probabilidade de ninguém no grupo ter o vírus:
Vamos calcular:
Então, a probabilidade de pelo menos uma pessoa ter o vírus no grupo é:
O número esperado de testes por grupo é:
Como temos dois grupos, multiplicamos por 2:
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta b: 39.41
Passo 4
Alínea c. Agora, temos duas empresas separadas, uma com 46 funcionários e outra com 32. O custo por teste é R$ 78 e $ p = 0.1 $. Vamos calcular o custo esperado para cada empresa separadamente e depois somar.
Primeiro, para a empresa com 46 funcionários:
Vamos dividir em dois grupos:
- Supondo dois grupos de 23 pessoas cada.
Probabilidade de ninguém ter o vírus em um grupo de 23:
Probabilidade de pelo menos alguém ter o vírus:
Número esperado de testes por grupo:
Para dois grupos:
Agora, para a empresa com 32 funcionários:
Dividimos em dois grupos de 16 cada.
Probabilidade de ninguém ter o vírus em um grupo de 16:
Probabilidade de pelo menos alguém ter o vírus:
Número esperado de testes por grupo:
Para dois grupos:
Agora, somamos os testes das duas empresas:
Como cada teste custa R$ 78:
Custo total esperado:
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta c: 5569.40
Resposta
a. 2.60
b. 39.41
c. 5569.40
b. 39.41
c. 5569.40