Uma amostra de 200 entrevistados numa pesquisa sobre consumo de notícias mostra que 128 pessoas se informam via redes sociais como principal meio. Achar os limites de confiança para a proporção que se informa via redes sociais a 95 \%

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=200 na qual 128 entrevistados se informam principalmente via redes sociais. A pergunta é: encontrar os limites do intervalo de confiança de 95\% para a proporção populacional p de pessoas que se informam via redes sociais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tamanho da amostra: n=200.
  • Número de sucessos (pessoas que usam redes sociais): x=128.
  • Nível de confiança desejado: 95\%.

Passo 2

Escolha do método: como não foi indicado método específico, usamos o método básico (mais comum em provas) para intervalo de confiança da proporção — o intervalo de Wald (aproximação normal). Esse método usa a distribuição normal quando a amostra é grande o suficiente. Vamos verificar a condição de aplicabilidade: é preciso que n\hat p e n(1-\hat p) sejam ambos maiores que 5, onde \hat p é a proporção amostral. Se essa condição for satisfeita, a aproximação normal é razoável.

Passo 3

Apresentação das fórmulas e explicação das variáveis (aula rápida):
  • A proporção amostral é \hat p=\dfrac{x}{n}, onde x é o número de sucessos na amostra e n é o tamanho da amostra.
  • O erro padrão (desvio padrão da proporção amostral) é
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Aqui \hat p(1-\hat p) é a variância estimada de uma variável indicadora e dividir por n ajusta para a média amostral.
  • Para um nível de confiança 1-\alpha, o intervalo de confiança de Wald é
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \text{SE}(\hat p),
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão (por exemplo, z_{0,975}=1,96 para 95\%). Esse z é chamado de valor crítico; ele determina quantos desvios-padrão precisamos afastar da média amostral para capturar a probabilidade desejada.

Passo 4

Calcular a proporção amostral \hat p:
\hat p=\dfrac{x}{n}=\dfrac{128}{200}=0,64.

Passo 5

Verificar as condições de aplicabilidade (checar se a aproximação normal é aceitável):
n\hat p = 200\cdot 0,64 = 128 \ge 5,
n(1-\hat p) = 200\cdot(1-0,64) = 200\cdot 0,36 = 72 \ge 5.
Como ambos são maiores que 5, a aproximação normal é apropriada.

Passo 6

Calcular o erro padrão \text{SE}(\hat p). Vamos desenvolver passo a passo:
\hat p(1-\hat p)=0,64\cdot 0,36=0,2304.
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\dfrac{0,2304}{200}}=\sqrt{0,001152}.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{0,001152}\approx 0,03394.
Portanto \text{SE}(\hat p)\approx 0,03394.

Passo 7

Determinar o valor crítico para 95\% de confiança. Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e 1-\alpha/2=0,975. O quantil correspondente da normal padrão é
z_{0,975}=1,96.
Explicação rápida: 1,96 é o número de desvios-padrão que deixa 2,5\% de cada lado da cauda numa normal padrão — tabela z ou conhecimento padrão em estatística.

Passo 8

Calcular a margem de erro (ME):
\text{ME}=z_{0,975}\cdot \text{SE}(\hat p)=1,96\cdot 0,03394\approx 0,06650.

Passo 9

Construir o intervalo de confiança:
\text{limite inferior}=\hat p-\text{ME}=0,64-0,06650=0,57350,
\text{limite superior}=\hat p+\text{ME}=0,64+0,06650=0,70650.
Arredondando para três casas decimais (prática usual em proporções):
0,574 \le p \le 0,707.

Passo 10

Interpretação prática e conversão para porcentagem: com 95\% de confiança, a proporção verdadeira de pessoas que se informam via redes sociais está entre 57,4\% e 70,7\%. Uma observação final: o método usado é a aproximação normal (Wald). Em amostras pequenas ou proporções muito próximas de 0 ou 1, métodos como intervalo de Wilson são preferíveis — aqui, pela amostra grande e proporção intermediária, o método Wald é aceitável para uma prova.

Resposta

0,574 \le p \le 0,707
57,4\% \le p \le 70,7\%

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