Uma amostra de 200 entrevistados numa pesquisa sobre consumo de notícias mostra que 128 pessoas se informam via redes sociais como principal meio. Achar os limites de confiança para a proporção que se informa via redes sociais a
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de tamanho
na qual
entrevistados se informam principalmente via redes sociais. A pergunta é: encontrar os limites do intervalo de confiança de
para a proporção populacional
de pessoas que se informam via redes sociais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Tamanho da amostra:
. - Número de sucessos (pessoas que usam redes sociais):
. - Nível de confiança desejado:
.
Passo 2
Escolha do método: como não foi indicado método específico, usamos o método básico (mais comum em provas) para intervalo de confiança da proporção — o intervalo de Wald (aproximação normal). Esse método usa a distribuição normal quando a amostra é grande o suficiente. Vamos verificar a condição de aplicabilidade: é preciso que
e
sejam ambos maiores que 5, onde
é a proporção amostral. Se essa condição for satisfeita, a aproximação normal é razoável.
Passo 3
Apresentação das fórmulas e explicação das variáveis (aula rápida):
- A proporção amostral é
, onde é o número de sucessos na amostra e é o tamanho da amostra. - O erro padrão (desvio padrão da proporção amostral) é
Aqui
é a variância estimada de uma variável indicadora e dividir por
ajusta para a média amostral.
- Para um nível de confiança
, o intervalo de confiança de Wald é
onde
é o quantil da distribuição normal padrão (por exemplo,
para
). Esse
é chamado de valor crítico; ele determina quantos desvios-padrão precisamos afastar da média amostral para capturar a probabilidade desejada.
Passo 4
Calcular a proporção amostral
:
Passo 5
Verificar as condições de aplicabilidade (checar se a aproximação normal é aceitável):
Como ambos são maiores que
, a aproximação normal é apropriada.
Passo 6
Calcular o erro padrão
. Vamos desenvolver passo a passo:
Agora a raiz quadrada:
Portanto
.
Passo 7
Determinar o valor crítico para
de confiança. Para nível de confiança
temos
e
. O quantil correspondente da normal padrão é
Explicação rápida:
é o número de desvios-padrão que deixa
de cada lado da cauda numa normal padrão — tabela z ou conhecimento padrão em estatística.
Passo 8
Calcular a margem de erro (ME):
Passo 9
Construir o intervalo de confiança:
Arredondando para três casas decimais (prática usual em proporções):
Passo 10
Interpretação prática e conversão para porcentagem: com
de confiança, a proporção verdadeira de pessoas que se informam via redes sociais está entre
e
. Uma observação final: o método usado é a aproximação normal (Wald). Em amostras pequenas ou proporções muito próximas de
ou
, métodos como intervalo de Wilson são preferíveis — aqui, pela amostra grande e proporção intermediária, o método Wald é aceitável para uma prova.