Suspeita-se que a proporção populacional de pessoas acometidas por certa doença virótica em certa cidade não é maior do que 10 %. Uma amostra aleatória simples de tamanho 256 foi observada e revelou que, dessas 256 pessoas, 32 estavam acometidas pela referida doença. Faça um teste de hipóteses e verifique se a suspeita está correta. Adote o nível de significância de 2 %

Passo 1

Beleza, vamos lá. O exercício tá pedindo para testar se a proporção de gente doente nessa cidade é maior que 10 %, mas a suspeita é justamente o contrário (que não seja maior que 10 %).
Conteúdo: teste de hipótese para proporção populacional usando aproximação normal.
O que a gente precisa:
  1. Formular H0 e H1.
  2. Calcular a proporção amostral hat p.
  3. Verificar as condições de aproximação normal ao binomial.
  4. Calcular estatística z e comparar com valor crítico de nível alpha=2%.
  5. Tomar a decisão.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as hipóteses:
H0: p = 0,10 (a proporção é 10 %)
H1: p > 0,10 (queremos ver se é maior)
Como usamos a aproximação normal, precisamos checar se n p0>=5 e n(1-p0)>=5:
  • n p0 = 256times0,10 = 25>=5
  • n(1-p0)=256times0,90=230>=5
    Beleza, podemos usar a normal.

Passo 3

Agora a proporção amostral:
hat p = xn = 32256 = 0,125
Isso significa 12,5 % da amostra.

Passo 4

A seguir, o desvio-padrão (erro padrão) da distribuição de hat p sob H0:
sigmahat p = raizp0(1-p0)n = raiz0,10times0,90256 = raiz0,09256 = 0,01875
Então a estatística de teste é
z = hat p - p0sigmahat p = 0,125 - 0,100,01875 = 0,0250,01875 approx 1,333

Passo 5

Como o teste é à direita e alpha=0,02, o valor crítico é
zcrítico = z1-alpha = z0,98 approx 2,0537í
Comparamos: z = 1,333 é menor que 2,0537, então não caímos na região de rejeição.

Resposta

Não rejeitamos H0. Não há evidência estatística de que a proporção seja maior que 10 %, ou seja, a suspeita de que não passa de 10 % está correta.

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