Um hospital anuncia que o tempo de internação de pacientes com uma determinada enfermidade é inferior a 31 dias. Um pesquisador anotou o tempo de internação de 9 pacientes, obtendo: 25,28,32,31,21,15,10,33 e 39 . Sabe-se que o tempo de internação por esta enfermidade se distribui normalmente. Faça um teste de hipóteses e diga se a afirmação do hospital está correta ao nível de 5 % de significância.

Passo 1

Resumo do enunciado: O hospital diz que o tempo médio de internação é inferior a 31 dias. Um pesquisador coletou dados de 9 pacientes (25, 28, 32, 31, 21, 15, 10, 33, 39) e sabe que o tempo segue distribuição normal. Queremos testar, ao nível de 5% de significância, se realmente a média é menor que 31 dias.
Conteúdo: teste de hipóteses para média com variância desconhecida (teste t de Student).
O que vamos precisar:
  • Formular as hipóteses nula e alternativa.
  • Calcular média amostral e desvio padrão amostral .
  • Calcular o estatístico t.
  • Comparar com valor crítico de t ou p-valor.

Passo 2

Hipóteses:
H₀: μ = 31 (ou μ ≥ 31, assumindo igualdade no teste)
H₁: μ < 31 (queremos mostrar que a média é menor)
Nível de significância: α = 0,05
Como a variância não é conhecida e n=9 (<30), usamos o teste t de Student com gl = n–1 = 8.

Passo 3

Calcular estatísticas amostrais:
Média amostral
bar x = 25 + 28 + 32 + 31 + 21 + 15 + 10 + 33 + 399 = 2349 = 26
Desvio padrão amostral
s = raiz1n-1sumi=1^n (xi - bar x)^2 = raiz6868 approx 9,26
(Detalhe: somamos os quadrados e deu 686.)

Passo 4

Calculando o estatístico t:
t = bar x - mu0s/raizn = 26 - 319,26/raiz9 = -59,26/3 = -53,087 approx -1,62
Valor crítico (unilateral esquerda) para gl=8 e α=0,05:
t0,05,,8 approx -1,860
Como , não caímos na região crítica. Ou seja, não rejeitamos H₀.

Resposta

Não há evidência suficiente, a 5% de significância, para afirmar que o tempo médio de internação é inferior a 31 dias. Portanto, a afirmação do hospital não está comprovada pelos dados.

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