Há suspeitas de que a qualidade do remédio depende do tempo de maturação despendido em sua produção. Para verificar isso, um laboratório farmacêutico coletou os seguintes dados:
Qualidade Tempo
23 1
31 2
40 3
46 4
52 5
63 6
a) Represente graficamente estes pontos.
b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson.
c) Determine a equação de regressão linear.

Passo 1

O enunciado relaciona a qualidade do remédio y com o tempo de maturação x e pede:
– (a) um gráfico de dispersão dos pares (x,y),
– (b) o coeficiente de correlação de Pearson r,
– (c) a reta de regressão linear de y em função de x.
Para isso, vamos precisar calcular as médias \bar x e \bar y, os somatórios \displaystyle S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2, \displaystyle S_{yy}=\sum (y_i-\bar y)^2 e \displaystyle S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y),
depois usar
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} \quad\text{e}\quad \hat y = a + b\,x,\quad b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},\quad a = \bar y - b\,\bar x.

Passo 2

Os pontos são (1,23), (2,31), (3,40), (4,46), (5,52), (6,63).
Num sistema de eixos com x no eixo horizontal (1 a 6) e y no vertical (20 a 65), os seis pontos aparecem próximos de uma reta ascendente.

Passo 3

Calculemos as médias:
\bar x = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5, \quad \bar y = \frac{23+31+40+46+52+63}{6} = \frac{255}{6} = 42{,}5.

Passo 4

Construímos as tabelas de desvios e seus produtos:
\begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & y_i & x_i-\bar x & y_i-\bar y & (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\\hline 1 & 23 & -2{,}5 & -19{,}5 & 48{,}75\\\\ 2 & 31 & -1{,}5 & -11{,}5 & 17{,}25\\\\ 3 & 40 & -0{,}5 & -2{,}5 & 1{,}25 \\\\ 4 & 46 & 0{,}5 & 3{,}5 & 1{,}75 \\\\ 5 & 52 & 1{,}5 & 9{,}5 & 14{,}25\\\\ 6 & 63 & 2{,}5 & 20{,}5 & 51{,}25 \end{array}
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S_{xy} = 48{,}75+17{,}25+1{,}25+1{,}75+14{,}25+51{,}25 = 134{,}5,
S_{xx} = (-2{,}5)^2+(-1{,}5)^2+(-0{,}5)^2+0{,}5^2+1{,}5^2+2{,}5^2 = 17{,}5,
S_{yy} = (-19{,}5)^2+(-11{,}5)^2+(-2{,}5)^2+3{,}5^2+9{,}5^2+20{,}5^2 = 1041{,}5.

Passo 5

O coeficiente de Pearson é
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} = \frac{134{,}5}{\sqrt{17{,}5 \times 1041{,}5}} \approx \frac{134{,}5}{135{,}0} \approx 0{,}996.

Passo 6

Os coeficientes da reta de regressão \hat y = a + b\,x são
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{134{,}5}{17{,}5} \approx 7{,}686, \quad a = \bar y - b\,\bar x = 42{,}5 - 7{,}686 \times 3{,}5 \approx 15{,}60.
Portanto
\hat y = 15{,}60 + 7{,}686\,x.

Resposta

(a) Gráfico de dispersão com pontos em (1,23), (2,31), (3,40), (4,46), (5,52), (6,63), alinhados positivamente.
(b) r \approx 0{,}996.
(c) \displaystyle \hat y = 15{,}60 + 7{,}686\,x.

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