Um time X tem \frac{2}{3} de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X, jogar cinco partidas, calcule a probabilidade de:
X vencer mais da metade das partidas.

Passo 1

O enunciado diz que o time X tem probabilidade de vitória em cada partida igual a p=\tfrac23, de forma independente. Vai jogar n=5 partidas e queremos a probabilidade de vencer mais da metade, ou seja, vencer pelo menos 3 jogos. Para isso, usamos a distribuição binomial.

Passo 2

Seja Y\sim \mathrm{Bin}(n=5,p=\tfrac23). A probabilidade de exatamente k vitórias é
\Pr(Y=k)=\binom{5}{k}\Bigl(\frac23\Bigr)^{k}\Bigl(\frac13\Bigr)^{5-k}.

Passo 3

Para k=3:
\Pr(Y=3) =\binom{5}{3}\Bigl(\frac23\Bigr)^{3}\Bigl(\frac13\Bigr)^{2} =10\cdot\frac{8}{27}\cdot\frac{1}{9} =\frac{80}{243}.

Passo 4

Para k=4:
\Pr(Y=4) =\binom{5}{4}\Bigl(\frac23\Bigr)^{4}\Bigl(\frac13\Bigr)^{1} =5\cdot\frac{16}{81}\cdot\frac{1}{3} =\frac{80}{243}.

Passo 5

Para k=5:
\Pr(Y=5) =\binom{5}{5}\Bigl(\frac23\Bigr)^{5}\Bigl(\frac13\Bigr)^{0} =1\cdot\frac{32}{243} =\frac{32}{243}.

Passo 6

Somando os casos favoráveis k=3,4,5:
\Pr(Y\ge3) =\frac{80}{243}+\frac{80}{243}+\frac{32}{243} =\frac{192}{243} =\frac{64}{81}.

Resposta

\displaystyle \frac{64}{81}

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