Uma suspensão aquosa que consiste em partículas de densidade de
na faixa de tamanhos de 1-10
é introduzida numa centrífuga cilíndrica com 450 mm de diâmetro e rotação de 80 Hz . Se a suspensão forma uma camada 75 milímetros de espessura na cesta, aproximadamente quanto tempo vai demorar para a menor partícula que ser retida? Qual o diâmetro crítico de separação caso a vazão de alimentação da centrífuga seja dobrada.
Passo 1
Beleza! Vamos descrever rapidinho o que o exercício pede e o que a gente vai usar para resolver.
– Enunciado resumido: uma suspensão de partículas (ρp=2500 kg/m³) em água (ρf≈1000 kg/m³, μ≈1·10⁻³ Pa·s), tamanho entre 1–10 μm, entra numa centrífuga cilíndrica de diâmetro 450 mm (logo raio exterior ro=0,225 m) girando a 80 Hz. A camada de partícula depositada na parede tem 75 mm de espessura (o que dá raio interior ri=0,225–0,075=0,150 m).
– O que eles querem:
– Enunciado resumido: uma suspensão de partículas (ρp=2500 kg/m³) em água (ρf≈1000 kg/m³, μ≈1·10⁻³ Pa·s), tamanho entre 1–10 μm, entra numa centrífuga cilíndrica de diâmetro 450 mm (logo raio exterior ro=0,225 m) girando a 80 Hz. A camada de partícula depositada na parede tem 75 mm de espessura (o que dá raio interior ri=0,225–0,075=0,150 m).
– O que eles querem:
- Quanto tempo leva pra menor partícula (d=1 μm) depositar nessa distância radial de 0,150→0,225 m?
- Se a vazão de alimentação dobrar (logo o tempo de residência cair pela metade), qual o diâmetro crítico de separação?
– Teoria que vamos usar: sedimentação em campo centrífugo seguindo a lei de Stokes adaptada. A velocidade de “queda” radial é
Como v_r depende de r, a gente integra pra achar o tempo total de ir de ri até ro e chega na fórmula clássica:
Passo 2
Agora, vamos calcular o tempo para a partícula de d=1 μm.
- Montando os dados:
• μ = 1·10⁻³ Pa·s
• ρp – ρf = 2500 – 1000 = 1500 kg/m³
• d = 1·10⁻⁶ m
• f = 80 Hz ⇒ ω = 2π·80 ≈ 502,65 rad/s
• ri = 0,150 m, ro = 0,225 m ⇒ ln(ro/ri)=ln(1,5)≈0,4055 - Plugando na fórmula
- Fazendo as contas (aprox):
– Denominador: 1500·(502,65)²·(1e-6)² ≈ 3,79×10⁻⁴
– Numerador: 18·1e-3 = 0,018
– Então t ≈ (0,018 / 3,79×10⁻⁴)·0,4055 ≈ 47,5·0,4055 ≈ 19,3 s
Passo 3
Quando a gente dobra a vazão, o tempo de residência da suspensão na centrífuga cai pela metade (t’ = t/2 ≈ 19,3/2 ≈ 9,65 s). O diâmetro crítico dₙᵥ (o menor que ainda separa) é aquele que, em t’, percorre a mesma distância. Basta inverter a fórmula pra d:
Agora é só colocar
– t’ ≈ 9,65 s
– e os outros valores que a gente já tinha. Fazendo rápido:
– t’ ≈ 9,65 s
– e os outros valores que a gente já tinha. Fazendo rápido:
Resposta
Tempo para separar partícula de 1 μm: cerca de 19 s.
Diâmetro crítico com vazão dobrada: aproximadamente 1,4 μm.
Diâmetro crítico com vazão dobrada: aproximadamente 1,4 μm.