Uma suspensão aquosa que consiste em partículas de densidade de 2500 kg / m^3 na faixa de tamanhos de 1-10 mu m é introduzida numa centrífuga cilíndrica com 450 mm de diâmetro e rotação de 80 Hz . Se a suspensão forma uma camada 75 milímetros de espessura na cesta, aproximadamente quanto tempo vai demorar para a menor partícula que ser retida? Qual o diâmetro crítico de separação caso a vazão de alimentação da centrífuga seja dobrada.

Passo 1

Beleza! Vamos descrever rapidinho o que o exercício pede e o que a gente vai usar para resolver.
– Enunciado resumido: uma suspensão de partículas (ρp=2500 kg/m³) em água (ρf≈1000 kg/m³, μ≈1·10⁻³ Pa·s), tamanho entre 1–10 μm, entra numa centrífuga cilíndrica de diâmetro 450 mm (logo raio exterior ro=0,225 m) girando a 80 Hz. A camada de partícula depositada na parede tem 75 mm de espessura (o que dá raio interior ri=0,225–0,075=0,150 m).
– O que eles querem:
  1. Quanto tempo leva pra menor partícula (d=1 μm) depositar nessa distância radial de 0,150→0,225 m?
  2. Se a vazão de alimentação dobrar (logo o tempo de residência cair pela metade), qual o diâmetro crítico de separação?
    – Teoria que vamos usar: sedimentação em campo centrífugo seguindo a lei de Stokes adaptada. A velocidade de “queda” radial é
vr = (rhop - rhof),d^2,omega^2,r18,mu,
Como v_r depende de r, a gente integra pra achar o tempo total de ir de ri até ro e chega na fórmula clássica:
t = 18,mu(rhop - rhof),omega^2,d^2,ln!gl(rorigr)

Passo 2

Agora, vamos calcular o tempo para a partícula de d=1 μm.
  1. Montando os dados:
    • μ = 1·10⁻³ Pa·s
    • ρp – ρf = 2500 – 1000 = 1500 kg/m³
    • d = 1·10⁻⁶ m
    • f = 80 Hz ⇒ ω = 2π·80 ≈ 502,65 rad/s
    • ri = 0,150 m, ro = 0,225 m ⇒ ln(ro/ri)=ln(1,5)≈0,4055
  2. Plugando na fórmula
t = 18,(1×10^-3)1500,(502,65)^2,(1×10^-6)^2;times0,4055
  1. Fazendo as contas (aprox):
    – Denominador: 1500·(502,65)²·(1e-6)² ≈ 3,79×10⁻⁴
    – Numerador: 18·1e-3 = 0,018
    – Então t ≈ (0,018 / 3,79×10⁻⁴)·0,4055 ≈ 47,5·0,4055 ≈ 19,3 s

Passo 3

Quando a gente dobra a vazão, o tempo de residência da suspensão na centrífuga cai pela metade (t’ = t/2 ≈ 19,3/2 ≈ 9,65 s). O diâmetro crítico dₙᵥ (o menor que ainda separa) é aquele que, em t’, percorre a mesma distância. Basta inverter a fórmula pra d:
t' = 18,mu(rhop - rhof),omega^2,drm crit^2,ln!l(tfracrorir) ;Longrightarrow; drm crit = raiz18,mu,ln(ro/ri)(rhop - rhof),omega^2,t'
Agora é só colocar
– t’ ≈ 9,65 s
– e os outros valores que a gente já tinha. Fazendo rápido:
drm crit approx raiz0,018cdot0,40551500cdot(502,65)^2cdot9,65 approx 1,4times10^-6 rm m = 1,4 murm m

Resposta

Tempo para separar partícula de 1 μm: cerca de 19 s.
Diâmetro crítico com vazão dobrada: aproximadamente 1,4 μm.

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