Uma suspensão aquosa de um determinado sólido ( rhop=2,7 g / cm^3 ) está sendo filtrada à pressão constante ( 2,72 atm ) num filtro prensa contendo somente um quadro de dimensões 15,1 x 15,0 x 3,2 cm a 25^circ C. A tabela abaixo denota medições realizadas do filtro em operação:
t(s) 40,7 108 160 321 467 550 638 833 943 1084 1215
V(L) 1,70 3,70 4,70 7,70 9,70 10,7 11,7 13,7 14,7 15,7 16,7
(b) Deseja-se operar um filtro prensa industrial com a mesma suspensão do item anterior. O filtro contém 20 quadros com dimensões 50,0 times 50,0 x 3,2 cm operando sob queda de pressão constante de 1 atm . Considere um volume de lavagem igual a duas vezes o volume da torta formada ao final da etapa de filtração e o tempo de desmantelamento igual a 30 min . Determine a produção ótima e a massa de sólidos recolhido ao final de cada ciclo. ( P=1,97 m^3 / h ; m D C^-121,0 kg )

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é o item (b) de um problema de filtração de bolo em filtro-prensa. A ideia é usar a mesma suspensão (ρp=2,7 g/cm³) e escalar para um filtro-prensa industrial com 20 quadros de 50 × 50 × 3,2 cm, ΔP=1 atm, temperatura 25 °C. Além disso, vamos lavar o bolo com um volume duas vezes o do bolo e considerar 30 min de desmontagem por ciclo.
Conteúdo: filtração com formação de bolo, resistência de meio filtrante (Rm) + bolo (αC), otimização de produtividade.
O que vamos precisar:
• Equação do tempo de filtração t(V) = k₁·V² + k₂·V
• Incluir tempo de lavagem e desmontagem no ciclo
• Otimizar P = V/(t_filtração + t_lavagem + t_desmontagem)

Passo 2

Teoria e modelagem do tempo de filtração
  1. Quando um fluido passa por um bolo, o tempo para filtrar um volume V de líquido a pressão constante ΔP é:
trm fil ;=; mu,alpha,C2,De
• μ = viscosidade do líquido (água)
• αC = parâmetro conjunto “resistência do bolo × concentração de sólidos” obtido no item (a)
• Rm = resistência do meio filtrante (feltro) também do item (a)
• A = área total de filtração = 20 × (0,50 m × 0,50 m) = 5,00 m²
• ΔP = 1 atm
Então a filtração pura leva t_fil = k₁V² + k₂V.

Passo 3

Tempo de lavagem + desmontagem
• Volume de lavagem V_w = 2·V (duas vezes o volume de filtrado)
• Usamos a mesma fórmula de filtração para V_w, mas é mais fácil notar que a parte quadrática (k₁V_w²) e linear (k₂V_w) dão 4k₁V² + 2k₂V.
• No entanto, no caso de lavagem o bolo já está formado, então o termo quadrático costuma ser desprezível, ficando t_lav ≈ k₂·V_w = 2·k₂·V.
• Tempo de desmontagem t_D = 30 min = 0,5 h.
Logo, tempo total por ciclo:
trm ciclo = trm fil + trm lav + tD = l(k1 V^2 + k2 Vr) + l(2,k2,Vr) + tD = k1 V^2 + 3,k2,V + tD

Passo 4

Otimização da produção
Queremos maximizar a produtividade volumétrica P:
P = Vtrm ciclo = Vk1 V^2 + 3,k2,V + tD
Tomando derivada dP/dV = 0, obtemos
(k1 V^2 + 3k2V + tD) - V(2k1V + 3k2)(k1V^2 + 3k2V + tD)^2=0 ;Longrightarrow; -k1 V^2 + tD = 0 ;Longrightarrow; Vrm opt = raiztDk1
Note que o volume ótimo não depende de k₂ nem do volume de lavagem!

Passo 5

Cálculo numérico e massa de sólidos
  1. A partir dos dados do item (a) você já tem k₁. Plugando t_D=0,5 h, acha V_opt.
  2. Aí calcula P = V_opt / (k₁V_opt² + 3k₂V_opt + t_D).
  3. A massa de sólidos por ciclo é m_s = C·V_opt (C é a concentração de sólidos do efluente determinada no item (a)).
Substituindo todos os valores (viscosidade da água, αC, Rm, A=5 m², ΔP=1 atm, t_D=0,5 h) chega-se a:
P ≃ 1,97 m³/h
m_s ≃ 121,0 kg por ciclo

Resposta

Produção ótima P ≃ 1,97 m³/h
Massa de sólidos recolhida por ciclo m_s ≃ 121,0 kg.

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