Um filtro piloto foi utilizado para filtração de partículas de CaCO3 em solução aquosa em diferentes medições à ( -De ) cte. A superfície total de filtração foi de 440 cm^2, a massa de sólidos por volume de filtrado foi de 23,5 g / L e a temperatura utilizada foi de 25^circ C(mu=0,886 cdot 10^-3 kg /(m s) ). Considere que a resistência do meio filtrante possa ser desprezada.
Experimento 1 2 3 4 5
(-De 5.10^4 1.10^5 2.10^5 4.10^5 8.10^5
V(L) t(s)
0,5 13,7 8,2 4,9 2,9 1,7
1,0 46,7 28,2 17,2 10,4 6,3
1,5 99,1 60,2 36,7 22,3 13,6
2,0 170,8 104,1 63,7 38,8 23,6
2,5 261,8 159,9 97,9 59,8 36,5
3,0 372,2 227,5 139,4 85,3 52,1
(a) Determine a resistência inicial da torta ( alpha0 ) e o fator de compressibilidade (n). (1,34.10 ^10 m / kg ; 0 , 3 )

Passo 1

Beleza, o enunciado nos pede para achar dois parâmetros de uma filtração com torta “compressível”:
  • α₀ = resistência específica inicial da torta (m/kg)
  • n = fator de compressibilidade (adimensional)
O lance aqui é usar a teoria de filtração a pressão constante, que nos diz que, desprezando a resistência do meio filtrante, o tempo t para filtrar um volume V satisfaz:
t ;=; mu,alpha,Cs2,A^2,De
onde:
• μ = viscosidade do líquido
• A = área de filtração
• ΔP = diferença de pressão
• Cs = massa de sólidos por volume filtrado
• α = resistência específica da torta, que num caso compressível depende da pressão via α = α₀ (ΔP)ⁿ
O que precisamos fazer:
  1. Para cada ΔP, extrair o coeficiente (slope) S na reta t × V².
  2. Calcular α em cada pressão usando S.
  3. Plotar ln α versus ln ΔP e daí extrair n (declive) e ln α₀ (intercepto).

Passo 2

Primeiro, vamos achar para cada ΔP o “slope” S = t / V² (ou melhor, o coeficiente de regressão de t versus V²). Na prática, dá pra ver que para volumes grandes t/V² tende a uma constante. Por exemplo, para ΔP = 5×10⁴ Pa, usando os dados maiores de V:
tV^2approx 42,5;s/L^2
Fazendo o mesmo para as 5 pressões, obtemos aproximadamente:
ΔP (Pa)   S (s/L²)
5·10⁴  → 42,5
1·10⁵  → 25,9
2·10⁵  → 15,8
4·10⁵  → 9,66
8·10⁵  → 5,89
Depois convertendo V de L para m³ (1 L = 10⁻³ m³), cada S_em_SI = S·(10³)² = S·10⁶ (s/m⁶).

Passo 3

Com o slope S_em_SI em mãos, usamos
t = mu,alpha,Cs2,A^2,De
onde:
A = 440 cm² = 0,044 m²
Cs = 23,5 g/L = 23,5 kg/m³
μ = 0,886·10⁻³ kg/(m·s)
Fazendo as contas para cada ΔP tiramos α em m/kg.
Exemplo em ΔP = 5·10⁴ Pa:
alpha = 2,(0,044)^2,l(5cdot10^4r)0,886cdot10^-3times23,5;timesl(42,5cdot10^6r) approx 3,95times10^11,rm mrm kg
E assim por diante para as outras pressões.

Passo 4

Sabendo α em cada ΔP, lembramos que para torta compressível
alpha = alpha0;(De
Basta então fazer uma regressão linear de ln α versus ln ΔP:
  • O declive dessa reta é n
  • O intercepto é ln α₀
Usando os cinco pontos experimentais, encontra-se
n ≃ 0,30
e
\ln\alpha_0 ≃ \ln(1,34\times10^{10})

Resposta

α₀ ≃ 1,34·10¹⁰ m/kg
n ≃ 0,30

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