Uma suspensão será clarificada por centrifugação e contém partículas com densidade \rho_{p}=1461 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. A densidade da suspensão é \rho=801 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e sua viscosidade é 100 cP . As dimensŏes da centrífuga são \mathrm{r}_{2}=0,02225 \mathrm{~m}, \mathrm{r}_{1}=0,00716 \mathrm{~m} e altura \mathrm{b}=0.1970 \mathrm{~m}. Calcule o diâmetro crítico das partículas na corrente de saída, se \mathrm{N}=23000 revoluçōes/minuto e \mathrm{qc}=0,002832 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro crítico das partículas na corrente de saída de uma centrífuga que clarifica uma suspensão. Dados fornecidos (vou listar tudo explícito para não nos perdermos):
\rho_{p}=1461\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \rho=801\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \mu=100\\ \mathrm{cP}
r_{2}=0{,}02225\\ \mathrm{m},\quad r_{1}=0{,}00716\\ \mathrm{m},\quad b=0{,}1970\\ \mathrm{m}
N=23000\\ \mathrm{rpm},\quad q_c=0{,}002832\\ \mathrm{m^{3}/h}
Pergunta: calcule o diâmetro crítico d_c (o menor diâmetro que consegue migrar radialmente até a parede da centrífuga durante o tempo de residência).

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica usada (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Partículas em uma centrífuga sofrem uma força «peso centrífugo» efetiva para fora proporcional a \omega^{2}r (onde \omega é a velocidade angular em rad/s e r a posição radial).
  • Em regime de escoamento laminar ao redor da partícula (número de Reynolds pequeno), a resistência ao movimento é dada pela lei de Stokes. Assim a velocidade radial de sedimentação de uma partícula de diâmetro d localizada no raio r é
v_r(r)=\frac{(\rho_p-\rho)\,\omega^{2} r\, d^{2}}{18\mu}.
Explicando cada símbolo: \rho_p e \rho são densidades da partícula e do fluido; \omega é velocidade angular (rad/s); r é a distância radial onde a partícula está; d é o diâmetro da partícula; \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s). A constante 18 vem da fórmula de Stokes para resistência esférica.

Passo 3

Tempo de residência na centrífuga:
  • Volume do fluido dentro do espaço entre os raios r_1 e r_2 e altura b é
V = \pi b (r_2^2 - r_1^2).
  • Vazão volumétrica deve ser convertida para \mathrm{m^3/s}. Dado q_c=0{,}002832\\ \mathrm{m^3/h},
Q=\frac{0{,}002832}{3600}\\ \mathrm{m^3/s}=7{,}866\overline{6}\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Tempo médio de residência (tempo disponível para a partícula migrar radialmente) é
\tau=\frac{V}{Q}.
Vou calcular numericamente V e \tau agora (cada passo com as contas):
  • Primeiro calcule r_2^2 e r_1^2:
r_2^2=(0{,}02225)^2=0{,}0004950625\\ \mathrm{m^2}, \quad r_1^2=(0{,}00716)^2=0{,}0000512656\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença:
r_2^2-r_1^2=0{,}0004437969\\ \mathrm{m^2}.
  • Volume:
V=\pi\cdot 0{,}1970\cdot 0{,}0004437969 = 2{,}7467\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}
(arredondei na quarta casa significativa).
  • Vazão em \mathrm{m^3/s}:
Q=7{,}8666667\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Tempo de residência:
\tau=\frac{2{,}7467\times10^{-4}}{7{,}8666667\times10^{-7}}=349{,}21\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Equação do movimento radial e tempo necessário para alcançar a parede:
  • A equação diferencial para a posição radial r(t) é
\frac{dr}{dt}=v_r(r)=k\,r,\quad\text{com}\quad k=\frac{(\rho_p-\rho)\,\omega^{2} d^{2}}{18\mu}.
Note que v_r é proporcional a r, então a equação é linear e separável.
  • Integramos de r_1 (posição inicial) até r_2 (parede). Separando variáveis e integrando:
\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r}=\int_{0}^{t_{\text{req}}} k\,dt
\Rightarrow \ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = k\,t_{\text{req}}.
  • Isolando t_{\text{req}} (tempo necessário para que uma partícula de diâmetro d chegue à parede):
t_{\text{req}}=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = \frac{18\mu}{(\rho_p-\rho)\,\omega^{2} d^{2}}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Explicação: Se o tempo de residência \tau for maior ou igual a t_{\text{req}}, a partícula alcança a parede e é removida. O diâmetro crítico d_c é obtido impondo \tau=t_{\text{req}}.

Passo 5

Expressão para o diâmetro crítico e preparação dos valores numéricos:
  • Igualando \tau e t_{\text{req}} e resolvendo para d obtemos
\tau = \frac{18\mu}{(\rho_p-\rho)\,\omega^{2} d_c^{2}}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)
\Rightarrow d_c^{2} = \frac{18\mu}{(\rho_p-\rho)\,\omega^{2}\tau}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)
\Rightarrow d_c = \sqrt{\frac{18\mu\;\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{(\rho_p-\rho)\,\omega^{2}\tau}}.
Agora calculamos cada termo numérico:
  • Viscosidade: \mu=100\\ \mathrm{cP}=100\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}=0{,}1\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Diferença de densidade:
\rho_p-\rho = 1461-801=660\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Velocidade angular:
\omega = 2\pi\frac{N}{60} = 2\pi\frac{23000}{60}=2409{,}24\\ \mathrm{rad/s}\\ (\text{aprox.}).
  • Logaritmo radial:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}02225}{0{,}00716}\right)=\ln(3{,}10745)=1{,}13286\\ (\text{aprox.}).
  • Já calculamos \tau=349{,}21\\ \mathrm{s}.
Agora montamos os números na fórmula:
  • Numerador:
18\mu\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=18\cdot 0{,}1\cdot 1{,}13286 = 2{,}03915.
  • Denominador:
(\rho_p-\rho)\,\omega^{2}\tau = 660\cdot(2409{,}24)^{2}\cdot 349{,}21.
Calcule \omega^{2} e o produto:
\omega^{2}\approx (2409{,}24)^{2}=5{,}8044\times10^{6}\\ \mathrm{s^{-2}}.
(\rho_p-\rho)\,\omega^{2}\tau \approx 660\cdot 5{,}8044\times10^{6}\cdot 349{,}21 \approx 1{,}336\times10^{12}.
  • Dividindo:
d_c^{2}=\frac{2{,}03915}{1{,}336\times10^{12}}=1{,}526\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Tomando raiz:
d_c=\sqrt{1{,}526\times10^{-12}}=1{,}235\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para micrômetros:
d_c\approx 1{,}235\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o diâmetro crítico calculado é da ordem de 1{,}2\\ \mu\mathrm{m}. Ou seja, partículas maiores que isso terão tempo suficiente para migrar até a parede e ser removidas pelo fluxo axial dado; menores que isso provavelmente permanecem na corrente de saída. Tá difícil no prazo? A conta é chata, mas o raciocínio é sempre esse: velocidade radial proporcional a d^2, tempo disponível \tau, e integração do movimento radial por conta do termo \propto r. Você já consegue repetir essa dedução na prova — força que tá indo bem!

Resposta

d_c=1{,}235\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (aprox. 1{,}24\\ \mu\mathrm{m}).

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