Uma suspensão será clarificada por centrifugação e contém partículas com densidade \rho_{p}=1461 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. A densidade da suspensão é \rho=801 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e sua viscosidade é 100 cP . As dimensŏes da centrífuga são \mathrm{r}_{2}=0,02225 \mathrm{~m}, \mathrm{r}_{1}=0,00716 \mathrm{~m} e altura \mathrm{b}=0.1970 \mathrm{~m}. Calcule o diâmetro crítico das partículas na corrente de saída, se \mathrm{N}=23000 revoluçōes/minuto e \mathrm{qc}=0,002832 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}.
Passo 1
O enunciado pede o diâmetro crítico das partículas na corrente de saída de uma centrífuga que clarifica uma suspensão. Dados fornecidos (vou listar tudo explícito para não nos perdermos):
Pergunta: calcule o diâmetro crítico d_c (o menor diâmetro que consegue migrar radialmente até a parede da centrífuga durante o tempo de residência).
Passo 2
Conceito físico e fórmula básica usada (explicação passo a passo, sem pular etapas):
Partículas em uma centrífuga sofrem uma força «peso centrífugo» efetiva para fora proporcional a \omega^{2}r (onde \omega é a velocidade angular em rad/s e r a posição radial).
Em regime de escoamento laminar ao redor da partícula (número de Reynolds pequeno), a resistência ao movimento é dada pela lei de Stokes. Assim a velocidade radial de sedimentação de uma partícula de diâmetro d localizada no raio r é
Explicando cada símbolo: \rho_p e \rho são densidades da partícula e do fluido; \omega é velocidade angular (rad/s); r é a distância radial onde a partícula está; d é o diâmetro da partícula; \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s). A constante 18 vem da fórmula de Stokes para resistência esférica.
Passo 3
Tempo de residência na centrífuga:
Volume do fluido dentro do espaço entre os raios r_1 e r_2 e altura b é
V = \pi b (r_2^2 - r_1^2).
Vazão volumétrica deve ser convertida para \mathrm{m^3/s}. Dado q_c=0{,}002832\\ \mathrm{m^3/h},
Explicação: Se o tempo de residência \tau for maior ou igual a t_{\text{req}}, a partícula alcança a parede e é removida. O diâmetro crítico d_c é obtido impondo \tau=t_{\text{req}}.
Passo 5
Expressão para o diâmetro crítico e preparação dos valores numéricos:
Igualando \tau e t_{\text{req}} e resolvendo para d obtemos
Interpretação rápida e incentivo: o diâmetro crítico calculado é da ordem de 1{,}2\\ \mu\mathrm{m}. Ou seja, partículas maiores que isso terão tempo suficiente para migrar até a parede e ser removidas pelo fluxo axial dado; menores que isso provavelmente permanecem na corrente de saída. Tá difícil no prazo? A conta é chata, mas o raciocínio é sempre esse: velocidade radial proporcional a d^2, tempo disponível \tau, e integração do movimento radial por conta do termo \propto r. Você já consegue repetir essa dedução na prova — força que tá indo bem!