Uma unidade de flotação apresenta vazĩo afluente de 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, contendo sólidos em suspensão em concentração igual a 300 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. A relação ótima A/S encontrada em escala é piloto é de 0,02 \mathrm{~kg} de ar / \mathrm{kg} de sólidos e a temperatura de funcionamento é de 30^{\circ} \mathrm{C}. Adotar \mathrm{f}=0,5. Determinar para o sistema sem recirculação, a pressăo de trabalho e a área do flotador e, após, no sistema com recirculaçũo, a razūo de recirculação e a nova área do flotador. Adotar o fator de carga (I) igual a 7,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{h}.

Passo 1

O que o enunciado pede e dados fornecidos.
Perguntas que o enunciado faz:
  • Para o sistema sem recirculação: determinar a pressão de trabalho (do saturador) e a área do flotador.
  • Para o sistema com recirculação: determinar a razão de recirculação e a nova área do flotador.
Dados fornecidos (vou escrevê-los em forma matemática para ficar claro):
Q = 30\\ \mathrm{m^{3}/h}
\text{concentração de sólidos } C_s = 300\\ \mathrm{mg/L}çãó
\frac{A}{S} = 0{,}02\\ \mathrm{kg\\ ar\\ / \\ kg\\ sólidos}ó
T = 30^\circ\mathrm{C}
f = 0{,}5
I = 7{,}2\\ \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot h)}\\ \text{(fator de carga)}
Observação importante (necessária para resolver o problema): o enunciado não dá a solubilidade total do ar em água a \,30^\circ\mathrm{C} (valor necessário para relacionar pressão e massa de ar dissolvida). Vou adotar um valor típico da solubilidade total do ar em água a 30^\circ\mathrm{C}:
S_{1\\ atm} = 0{,}023\\ \mathrm{kg\\ air/m^{3}\\ water}\\ (=23\\ \mathrm{mg/L}),
ou seja, a quantidade de ar dissolvida por metro cúbico de água à pressão absoluta de 1\\ \text{atm}.
Vou assumir também que, na faixa de pressões usadas, a solubilidade (em massa por volume de água) é aproximadamente proporcional à pressão absoluta (Lei de Henry linearizada):
S_p = S_{1\\ atm}\cdot p_\text{(atm)},
onde p_\text{(atm)} é a pressão absoluta expressa em atm. Se você tiver outro valor para S_{1\\ atm} ou outra hipótese, o procedimento abaixo é o mesmo — só mudam os números.

Passo 2

Calcular a vazão mássica de sólidos (explicando passo a passo).
Primeiro converter a concentração para \mathrm{kg/m^{3}}. Como 300\\ \mathrm{mg/L} = 0{,}300\\ \mathrm{g/L} e 1\\ \mathrm{g/L}=1\\ \mathrm{kg/m^{3}}, temos
C_s = 0{,}300\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
A vazão mássica de sólidos \dot{m}_s é:
\dot{m}_s = Q\cdot C_s = 30\\ \mathrm{m^{3}/h}\times 0{,}300\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 9{,}0\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário didático rápido: isso significa que a cada hora entram 9\\ \mathrm{kg} de sólidos para serem removidos pela flotação. Relaxa — estamos só transformando unidades.

Passo 3

Calcular a massa de ar necessária (A/S) e a massa de ar que precisa ser liberada para formar bolhas, usando o fator f.
A relação A/S é a razão massa de ar / massa de sólidos efetivamente necessária para a flotação. Assim a massa de ar necessária por hora é:
\dot{m}_{air,\,necessária} = \frac{A}{S}\cdot \dot{m}_s = 0{,}02\\ \frac{\mathrm{kg\\ ar}}{\mathrm{kg\\ sólidos}}\times 9{,}0\\ \mathrm{kg/h} = 0{,}18\\ \mathrm{kg/h}.áó
Explicação do fator f: nem todo ar liberado vira bolhas úteis que se prendem aos sólidos. O enunciado dá f=0{,}5, que interpretamos como a fração do ar liberado que efetivamente “se prende” aos sólidos. Logo precisamos liberar mais ar do que a massa estritamente necessária para compensar essa eficiência:
\dot{m}_{air,\,liberada} = \frac{\dot{m}_{air,\,necessária}}{f} = \frac{0{,}18}{0{,}5} = 0{,}36\\ \mathrm{kg/h}.á
Comentário didático: pense assim — você precisa que 0,18 kg/h de ar fique colado aos sólidos; como só 50% do ar liberado é efetivamente útil, você deve liberar o dobro, 0,36 kg/h.

Passo 4

Sistema sem recirculação — equacionar a relação entre pressão e massa de ar liberada, e calcular a pressão de trabalho.
Quando não se usa recirculação, a água que chega ( Q) é a água que recebe o ar sob pressão (saturador hipotético). A massa de ar que será liberada por hora ao despressurizar essa água é:
\dot{m}_{air,\,liberada} = Q\cdot\bigl(S_p - S_{1\\ atm}\bigr),
onde S_p é a solubilidade (kg ar/m^3 água) à pressão absoluta p e S_{1\\ atm} é a solubilidade a 1\\ \text{atm}.
Usando a hipótese de proporcionalidade (Lei de Henry linear):
S_p = S_{1\\ atm}\cdot p_\text{(atm)}.
Logo
S_p - S_{1\\ atm} = S_{1\\ atm}\,(p_\text{(atm)}-1).
Igualando à massa de ar necessária por hora:
\dot{m}_{air,\,liberada} = Q\cdot S_{1\\ atm}\,(p_\text{(atm)}-1).
Despejando p_\text{(atm)}:
p_\text{(atm)} = 1 + \frac{\dot{m}_{air,\,liberada}}{Q\cdot S_{1\\ atm}}.
Substituindo os números já calculados:
p_\text{(atm)} = 1 + \frac{0{,}36\\ \mathrm{kg/h}}{30\\ \mathrm{m^{3}/h}\times 0{,}023\\ \mathrm{kg/m^{3}}} = 1 + \frac{0{,}36}{0{,}69} \approx 1 + 0{,}5217 \approx 1{,}5217\\ \text{(atm)}.
Converter para unidades mais usuais:
p_\text{abs} \approx 1{,}522\\ \mathrm{atm}.
Em kPa (1 atm = 101{,}325 kPa):
p_\text{abs}\approx 1{,}522\times 101{,}325 \approx 154{,}3\\ \mathrm{kPa}.
Pressão manométrica (gauge) em bar:
p_\text{gauge} = p_\text{abs (bar)} - 1{,}01325 = (1{,}522\times 1{,}01325) - 1{,}01325 \approx 1{,}543 - 1{,}013 \approx 0{,}53\\ \mathrm{bar}.
Interpretação: com a hipótese adotada, saturar a água inteira do afluente requer uma pressão absoluta de cerca de \,1{,}52\\ \text{atm} (≈154 kPa abs, ≈0,53 bar gauge) para que, ao despressurizar, saia os \,0{,}36\\ \mathrm{kg/h} de ar necessários.

Passo 5

Sistema sem recirculação — calcular a área do flotador.
O fator de carga I tem unidades \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot h)} e relaciona a vazão superficial por área:
I = \frac{Q_\text{total}}{A}.
No caso sem recirculação, o fluxo que atravessa o flotador é Q. Assim
A = \frac{Q}{I} = \frac{30}{7{,}2} = 4{,}1667\\ \mathrm{m^{2}}\approx 4{,}17\\ \mathrm{m^{2}}.
Comentário didático: o fator de carga é como a “velocidade superficial tolerável” — quanto maior I, menor área necessária para a mesma vazão.

Passo 6

Sistema com recirculação — estratégia e escolha de pressão de trabalho prática.
Agora introduzimos recirculação: em DAF prático costuma-se saturar somente uma fração da vazão (o recirculado Q_r) a uma pressão mais alta e misturar essa água saturada com o afluente; ao despressurizar, o ar liberado vem dessa fração saturada. Quando se usa recirculação, normalmente se escolhe uma pressão de saturação prática maior do que a que tivemos no caso sem recirculação — isso reduz muito o volume de água que precisa ser recirculado para obter a mesma massa de ar.
Escolha prática: é comum operar saturadores entre 3 e 5 atm absolutos na prática industrial. Vou adotar para o cálculo um valor representativo e intermediário:
p_\text{(atm)} = 4{,}0\\ \text{(atm, absoluto)}.
Justificativa curta: 3–5 atm é faixa habitual; 4 atm é um valor de projeto típico que nos permite ver o efeito da recirculação. Se você quiser outro valor, eu recalculo rápido.

Passo 7

Sistema com recirculação — calcular a vazão de recirculação Q_r e razão de recirculação.
Com a hipótese S_p = S_{1\\ atm}\cdot p_\text{(atm)} temos:
S_p - S_{1\\ atm} = S_{1\\ atm}\,(p_\text{(atm)}-1).
Para p_\text{(atm)}=4:
S_p - S_{1\\ atm} = 0{,}023\cdot(4-1) = 0{,}023\cdot 3 = 0{,}069\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
A massa de ar liberada por hora proveniente do recirculado é
\dot{m}_{air,\,liberada} = Q_r\cdot (S_p - S_{1\\ atm}).
Isolando Q_r:
Q_r = \frac{\dot{m}_{air,\,liberada}}{S_p - S_{1\\ atm}} = \frac{0{,}36}{0{,}069} \approx 5{,}2174\\ \mathrm{m^{3}/h}.
A razão de recirculação (em relação ao afluente Q) é:
R = \frac{Q_r}{Q} = \frac{5{,}2174}{30} \approx 0{,}1739 \approx 0{,}174\\ (\text{ou }17{,}4\%).
Comentário didático: com pressão mais alta, cada metro cúbico de recirculado “carrega” muito mais ar dissolvido; por isso basta recircular uma pequena fração ( \sim17{,}4\%) da vazão para obter a mesma massa de ar liberada.

Passo 8

Sistema com recirculação — calcular a nova área do flotador.
Aqui é importante explicitar a hipótese sobre como o fator I é aplicado. Em muitos projetos práticos, o dimensionamento da área do flotador (superfície) usa a vazão total que passa pela superfície de separação — isto é, o somatório do afluente mais o recirculado (porque a água recirculada também precisa passar pela superfície). Vou adotar essa interpretação (se seu professor usar outra convenção, ajustamos):
A_{\text{novo}} = \frac{Q + Q_r}{I} = \frac{30 + 5{,}2174}{7{,}2} = \frac{35{,}2174}{7{,}2}\approx 4{,}8913\\ \mathrm{m^{2}}.
Observação: nessa hipótese a área aumenta ligeiramente ao introduzir recirculação porque o recirculado aumenta a vazão superficial total; o benefício da recirculação está na redução do consumo de ar por volume recirculado (portanto em reduzir a potência do compressor, tamanho do saturador, etc.) e em produzir melhor e mais eficiente geração de microbolhas, não necessariamente em reduzir a área superficial exigida se o fator I for aplicado ao somatório de fluxos. Em outras convenções a área pode ser tomada sobre a vazão do afluente apenas, caso em que a área continuaria igual a Q/I.

Passo 9

Resumo numérico final (resultado dos cálculos, já arredondados razoavelmente)
Valores obtidos com as hipóteses explicitadas ( S_{1\\ atm}=0{,}023\\ \mathrm{kg/m^{3}} e, no caso com recirculação, p=4\\ \mathrm{atm}):
  • Vazão de sólidos: \dot{m}_s = 9{,}0\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa de ar necessária: \dot{m}_{air,\,necessária} = 0{,}18\\ \mathrm{kg/h}á.
  • Massa de ar a ser liberada (considerando f=0{,}5): \dot{m}_{air,\,liberada} = 0{,}36\\ \mathrm{kg/h}.
Sem recirculação:
  • Pressão de trabalho (absoluta): p_\text{abs}\approx 1{,}52\\ \mathrm{atm} (≈154{,}3 kPa abs).
  • Pressão manométrica aproximada: p_\text{gauge}\approx 0{,}53\\ \mathrm{bar}.
  • Área do flotador: A\approx 4{,}17\\ \mathrm{m^{2}}.
Com recirculação (adotando p_\text{abs}=4{,}0\\ \mathrm{atm}):
  • Vazão de recirculação: Q_r\approx 5{,}22\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Razão de recirculação: R\approx 0{,}174 (17{,}4%).
  • Nova área do flotador (considerando área dimensionada para Q+Q_r): A_{\text{novo}}\approx 4{,}89\\ \mathrm{m^{2}}.
Se quiser, eu refaço os cálculos usando outro valor de solubilidade S_{1\\ atm} (se você tiver o valor do seu professor) ou usando uma outra pressão escolhida para o caso com recirculação (por ex. 3 ou 5 atm) — eu ajusto os números na hora.

Resposta

Pressão de trabalho (sem recirculação): p_\text{abs}\approx 1{,}52\\ \mathrm{atm} (≈154{,}3 kPa abs; ≈0{,}53 bar gauge)
Área do flotador (sem recirculação): A\approx 4{,}17\\ \mathrm{m^{2}}
Razão de recirculação (com recirculação, adotando p=4\\ \mathrm{atm}): R\approx 0{,}174 (17{,}4%)
Nova área do flotador (com recirculação, dimensionando para Q+Q_r): A_{\text{novo}}\approx 4{,}89\\ \mathrm{m^{2}}

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