(3) Syam f(x)=lx^2+1, se x<2 x+3, se x >= 2 e g(x)=l1-x, se x<1 2 x, se x >= 1. Determine:
fcirc g.

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas por partes,
f(x)= x^2+1, & x<2, x+3, & x>=2,
e
g(x)= 1-x, & x<1, 2x, & x>=1,
e pede a composição fcirc g, ou seja, (fcirc g)(x)=fl(g(x)r). Para resolver vamos primeiro identificar as ramificações de g e depois, em cada ramo, verificar se g(x)<2 ou g(x)>=2 para usar a definição adequada de f.

Passo 2

As duas ramificações de g são
g(x)=1-xse x<1, g(x)=2xse x>=1

Passo 3

Em cada ramo de g determinamos onde g(x)<2 e onde g(x)>=2:
No caso x<1 temos g(x)=1-x.
Para g(x)<2 resolvemos
1-x<2;Longrightarrow;-x<1;Longrightarrow;x>-1
Logo, em -1<x<1 vale g(x)<2 e em x<=-1 vale g(x)>=2.
No caso x>=1 temos g(x)=2x que automaticamente satisfaz 2x>=2, isto é, g(x)>=2 para todo x>=1.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de f a g(x) em cada trecho:
  1. Para x<= -1 (onde g(x)=1-x>=2) usamos f(y)=y+3, logo
(fcirc g)(x)=g(x)+3=(1-x)+3=4-x
  1. Para -1<x<1 (onde g(x)=1-x<2) usamos f(y)=y^2+1, logo
(fcirc g)(x)=(1-x)^2+1
  1. Para x>=1 (onde g(x)=2x>=2) usamos f(y)=y+3, logo
(fcirc g)(x)=2x+3

Resposta

(fcirc g)(x)= 4 - x, & x <= -1, (1 - x)^2 + 1, & -1 < x < 1, 2x + 3, & x >= 1

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