. Um determinado planeta (de raio R_{1} ), de densidade \rho_{1}, é envolto por uma nuvem de poeira (esférica e de raio R_{2}>R_{1} ), de densidade \rho_{2}. Determine o potencial e o campo gravitacional em qualquer ponto no espaço (dentro do planeta, dentro da nuvem e num ponto exterior r_{0}>R_{2} ). Verifique a sua resposta para o potencial mostrando que o mesmo é uma função contínua nos limites de cada região separando meios diferentes.

Passo 1

O enunciado dá: um planeta esférico de raio R_{1} e densidade uniforme \rho_{1}, rodeado por uma nuvem (camada esférica) que vai de r=R_{1} até r=R_{2} com densidade uniforme \rho_{2}. Temos que determinar o potencial gravitacional \Phi(r) e o campo gravitacional \vec g(r) em qualquer ponto do espaço, ou seja, para as três regiões:
  1. r<R_{1} (dentro do planeta),
  2. R_{1}<r<R_{2} (dentro da nuvem de poeira),
  3. r>R_{2} (fora de todo o sistema; o enunciado chama esse ponto de r_{0}>R_{2}).
Informações relevantes dadas:
R_{2}>R_{1},\qquad \rho_{1}\\ \text{(densidade do planeta)},\qquad \rho_{2}\\ \text{(densidade da nuvem)}.
O que se pede:
  • Expressões de \Phi(r) e de \vec g(r) nas três regiões acima.
  • Verificar que \Phi(r) é contínua nas superfícies r=R_{1} e r=R_{2}.

Passo 2

Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  1. Teorema das cascas esféricas (Newton / simetria esférica): para uma distribuição de massa esfericamente simétrica,
    • o campo gravitacional num ponto a distância r do centro depende somente da massa total contida na esfera de raio r (massa “encerrada”); as cascas externas (com raio > r) não contribuem para o campo em r.
    • matematicamente, a componente radial do campo é
    g_r(r) = -\frac{G\,M_{\text{enc}}(r)}{r^{2}}
    onde M_{\text{enc}}(r) é a massa total contida dentro da esfera de raio r e G é a constante gravitacional. O sinal negativo indica que \vec g aponta para o centro.
    Intuição: cada casca esférica externa produz forças que se cancelam dentro dela; a massa interna atua como se estivesse concentrada no centro — fácil de aplicar em prova.
  2. Relação entre campo e potencial: para simetria radial o potencial \Phi(r) (escolhemos \Phi(\infty)=0) satisfaz
    g_r(r) = -\frac{d\Phi}{dr}.
    Logo, sabendo g_r(r) podemos obter \Phi(r) por integração:
    \Phi(r)= -\int_{\infty}^{r} g_r(r')\,dr'.
    Essa integral deve ser feita por partes passando de região em região (quando r está dentro de camadas).
  3. Massas úteis (fórmula da massa de esfera de densidade constante):
    M(\text{esfera de raio }a)=\frac{4}{3}\pi a^{3}\rho.

Passo 3

Calcular massas e massa encerrada M_{\text{enc}}(r).
Massa do planeta (esfera sólida de raio R_{1}):
M_{1}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}\rho_{1}.
Massa total da nuvem (camada entre R_{1} e R_{2}):
M_{\text{nuvem}}=\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{2}^{3}-R_{1}^{3}\bigr)\rho_{2}.
Para usar o teorema das cascas, a massa encerrada M_{\text{enc}}(r) é:
  • Se r<R_{1}:
    M_{\text{enc}}(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho_{1}.
  • Se R_{1}<r<R_{2}:
    massa do planeta inteira mais a massa da nuvem contida até r:
    M_{\text{enc}}(r)=M_{1}+\frac{4}{3}\pi\bigl(r^{3}-R_{1}^{3}\bigr)\rho_{2} =\frac{4}{3}\pi\bigl(r^{3}\rho_{2}+R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})\bigr).
  • Se r>R_{2}:
    massa total:
    M_{\text{enc}}(r)=M_{1}+M_{\text{nuvem}} =\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{1}^{3}\rho_{1}+(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\rho_{2}\bigr).

Passo 4

Campo gravitacional \vec g(r): usamos \vec g(r)=g_r(r)\,\hat r com g_r(r)=-G M_{\text{enc}}(r)/r^{2}.
  • Para r<R_{1}:
    g_r(r) = -\frac{G}{r^{2}}\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho_{1}\right) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{1}\,r.
    Portanto
    \vec g(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{1}\,r\,\hat r.
    Comentário didático: dentro de uma esfera uniforme o campo cresce linearmente com r (como numa mola), porque a massa encerrada cresce como r^{3} e divide por r^{2}.
  • Para R_{1}<r<R_{2}:
    g_r(r) = -\frac{G}{r^{2}}\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(r^{3}\rho_{2}+R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})\bigr).
    Simplificando:
    g_r(r) = -\frac{4}{3}\pi G\!\left(\rho_{2} r + \frac{R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})}{r^{2}}\right).
    Assim
    \vec g(r) = -\frac{4}{3}\pi G\!\left(\rho_{2} r + \frac{R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})}{r^{2}}\right)\!\hat r.
    Intuição: há uma contribuição “local” proporcional a \rho_{2}r (da parte de nuvem dentro de r) e uma contribuição \propto 1/r^{2} originada da massa do planeta (que está toda dentro).
  • Para r>R_{2}:
    massa total é M_{1}+M_{\text{nuvem}}, então
    \vec g(r) = -\frac{G}{r^{2}}\left(\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{1}^{3}\rho_{1}+(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\rho_{2}\bigr)\right)\hat r.

Passo 5

Potencial \Phi(r) para r>R_{2} (fora): usamos \Phi(r)=-\int_{\infty}^{r} g_r(r')\,dr'. Para r>R_{2} o campo é o de uma massa pontual M_{\text{tot}}=M_{1}+M_{\text{nuvem}}, então
\Phi(r) = -\frac{G M_{\text{tot}}}{r}
ou explicitamente
\Phi(r) = -\frac{G}{r}\left(\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{1}^{3}\rho_{1}+(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\rho_{2}\bigr)\right).

Passo 6

Potencial \Phi(r) para R_{1}<r<R_{2}. Fazemos a integral por partes: integrar do infinito até R_{2} (região externa) e depois de R_{2} até r (região interna à nuvem).
  1. Primeiro trecho (∞ até R_{2}) dá \Phi(R_{2})=-G M_{\text{tot}}/R_{2}.
  2. Segundo trecho ( R_{2} até r, com r<R_{2}) usamos o campo da região intermediária:
g_r(r') = -\frac{4}{3}\pi G\!\left(\rho_{2} r' + \frac{R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})}{r'^{2}}\right).
Então
\Phi(r)=\Phi(R_{2})-\int_{R_{2}}^{r} g_r(r')\,dr'
\Phi(r)=-\frac{G M_{\text{tot}}}{R_{2}}+\frac{4}{3}\pi G\int_{R_{2}}^{r}\!\left(\rho_{2} r' + \frac{R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})}{r'^{2}}\right)\!dr'.
Calculando a integral:
\int_{R_{2}}^{r}\rho_{2} r'\,dr'=\rho_{2}\frac{r^{2}-R_{2}^{2}}{2}, \qquad \int_{R_{2}}^{r}\frac{dr'}{r'^{2}}=-\frac{1}{r}+\frac{1}{R_{2}}.
Colocando tudo e simplificando (usar M_{\text{tot}}=\frac{4}{3}\pi(R_{2}^{3}\rho_{2}+R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2}))) obtemos, após simplificação,
\Phi(r)=\frac{4}{3}\pi G\!\left(\rho_{2}\Bigl(\frac{r^{2}}{2}-\frac{3}{2}R_{2}^{2}\Bigr)-\frac{R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})}{r}\right).
Observação: essa expressão é algebraicamente equivalente à expressão obtida somando potenciais de cada componente (planeta + porção interna da nuvem), e resultará negativa para densidades positivas na maioria dos casos, conforme esperado.

Passo 7

Potencial \Phi(r) para r<R_{1}. Podemos usar continuidade em r=R_{1} e integrar o campo dentro do planeta, ou somar potenciais das partes (planeta + nuvem). Vou fazer pela soma (mais direta didaticamente):
  • Potencial devido ao planeta (esfera uniforme) em r<R_{1} é a fórmula conhecida (pode-se obter por integração direta do campo do interior):
\Phi_{\text{planeta}}(r) = -\frac{G M_{1}}{2R_{1}^{3}}\bigl(3R_{1}^{2}-r^{2}\bigr).
Substituindo M_{1}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}\rho_{1} resulta
\Phi_{\text{planeta}}(r) = -2\pi G \rho_{1}R_{1}^{2} + \frac{2}{3}\pi G \rho_{1} r^{2}.
  • Potencial devido à nuvem numa posição r<R_{1}: cada casca da nuvem está toda fora do ponto, e a contribuição de uma casca de raio r' é -G\,dm/r'; integrando entre R_{1} e R_{2} obtemos uma constante (independente de r):
\Phi_{\text{nuvem}}(r) = -4\pi G \rho_{2}\int_{R_{1}}^{R_{2}} r'\,dr' = -2\pi G \rho_{2}\bigl(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\bigr).
Somando:
\Phi(r)=\Phi_{\text{planeta}}(r)+\Phi_{\text{nuvem}}(r) =\frac{2}{3}\pi G \rho_{1} r^{2} + 2\pi G\!\bigl(R_{1}^{2}(\rho_{2}-\rho_{1}) - \rho_{2}R_{2}^{2}\bigr).
Essa forma é equivalente à que se obtém integrando o campo desde o infinito passando por todas as camadas.

Passo 8

Verificação de continuidade de \Phi em r=R_{2} e r=R_{1}.
  • Em r=R_{2}:
    Valor vindo da região externa ( r>R_{2}):
    \Phi_{\text{out}}(R_{2}) = -\frac{G}{R_{2}}\left(\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{1}^{3}\rho_{1}+(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\rho_{2}\bigr)\right).
    Valor vindo da expressão da região intermédia ( R_{1}<r<R_{2}) ao tomar r\to R_{2}^{-}:
    \Phi_{\text{mid}}(R_{2})=\frac{4}{3}\pi G\!\left(\rho_{2}\Bigl(\frac{R_{2}^{2}}{2}-\frac{3}{2}R_{2}^{2}\Bigr)-\frac{R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})}{R_{2}}\right).
    Simplificando o primeiro termo dá -\frac{4}{3}\pi G\bigl(R_{2}^{2}\rho_{2}\bigr) e somando o termo com R_{1}^{3} recupera exatamente \Phi_{\text{out}}(R_{2}). Logo \Phi é contínua em R_{2}.
  • Em r=R_{1}:
    Valor vindo de dentro ( r\to R_{1}^{-}) usando a expressão para r<R_{1}:
    \Phi_{\text{in}}(R_{1})=\frac{2}{3}\pi G \rho_{1} R_{1}^{2} + 2\pi G\bigl(R_{1}^{2}(\rho_{2}-\rho_{1}) - \rho_{2}R_{2}^{2}\bigr).
    Valor vindo da região intermédia ( r\to R_{1}^{+}) usando a expressão do passo 6 com r=R_{1} dá exatamente o mesmo (ao colocar r=R_{1} e simplificar), portanto \Phi é contínua em R_{1}.
Conclusão: a função \Phi(r) obtida é contínua nas fronteiras r=R_{1} e r=R_{2}, como pedido.

Resposta

\vec g(r)= \begin{cases} -\dfrac{4}{3}\pi G \rho_{1}\,r\,\hat r, & r<R_{1},\\[8pt] -\dfrac{4}{3}\pi G\!\left(\rho_{2} r + \dfrac{R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})}{r^{2}}\right)\!\hat r, & R_{1}<r<R_{2},\\[10pt] -\dfrac{G}{r^{2}}\left(\dfrac{4}{3}\pi\bigl(R_{1}^{3}\rho_{1}+(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\rho_{2}\bigr)\right)\hat r, & r>R_{2}. \end{cases}
\Phi(r)= \begin{cases} \dfrac{2}{3}\pi G \rho_{1}\,r^{2} + 2\pi G\!\bigl(R_{1}^{2}(\rho_{2}-\rho_{1}) - \rho_{2}R_{2}^{2}\bigr), & r<R_{1},\\[8pt] \dfrac{4}{3}\pi G\!\left(\rho_{2}\Bigl(\dfrac{r^{2}}{2}-\dfrac{3}{2}R_{2}^{2}\Bigr)-\dfrac{R_{1}^{3}(\rho_{1}-\rho_{2})}{r}\right), & R_{1}<r<R_{2},\\[10pt] -\dfrac{G}{r}\left(\dfrac{4}{3}\pi\bigl(R_{1}^{3}\rho_{1}+(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\rho_{2}\bigr)\right), & r>R_{2}. \end{cases}]

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