. Um determinado planeta (de raio
), de densidade
, é envolto por uma nuvem de poeira (esférica e de raio
), de densidade
. Determine o potencial e o campo gravitacional em qualquer ponto no espaço (dentro do planeta, dentro da nuvem e num ponto exterior
). Verifique a sua resposta para o potencial mostrando que o mesmo é uma função contínua nos limites de cada região separando meios diferentes.
Passo 1
O enunciado dá: um planeta esférico de raio
e densidade uniforme
, rodeado por uma nuvem (camada esférica) que vai de
até
com densidade uniforme
. Temos que determinar o potencial gravitacional
e o campo gravitacional
em qualquer ponto do espaço, ou seja, para as três regiões:
-
(dentro do planeta), -
(dentro da nuvem de poeira), -
(fora de todo o sistema; o enunciado chama esse ponto de ).
Informações relevantes dadas:
O que se pede:
- Expressões de
e de nas três regiões acima. - Verificar que
é contínua nas superfícies e .
Passo 2
Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
-
Teorema das cascas esféricas (Newton / simetria esférica): para uma distribuição de massa esfericamente simétrica,
- o campo gravitacional num ponto a distância
do centro depende somente da massa total contida na esfera de raio (massa “encerrada”); as cascas externas (com raio > ) não contribuem para o campo em . - matematicamente, a componente radial do campo é
ondeé a massa total contida dentro da esfera de raio e é a constante gravitacional. O sinal negativo indica que aponta para o centro. Intuição: cada casca esférica externa produz forças que se cancelam dentro dela; a massa interna atua como se estivesse concentrada no centro — fácil de aplicar em prova. - o campo gravitacional num ponto a distância
-
Relação entre campo e potencial: para simetria radial o potencial
(escolhemos ) satisfaz Logo, sabendopodemos obter por integração: Essa integral deve ser feita por partes passando de região em região (quandoestá dentro de camadas). -
Massas úteis (fórmula da massa de esfera de densidade constante):
Passo 3
Calcular massas e massa encerrada
.
Massa do planeta (esfera sólida de raio
):
Massa total da nuvem (camada entre
e
):
Para usar o teorema das cascas, a massa encerrada
é:
-
Se
: -
Se
:
massa do planeta inteira mais a massa da nuvem contida até: -
Se
:
massa total:
Passo 4
Campo gravitacional
: usamos
com
.
-
Para
: PortantoComentário didático: dentro de uma esfera uniforme o campo cresce linearmente com(como numa mola), porque a massa encerrada cresce como e divide por . -
Para
: Simplificando:AssimIntuição: há uma contribuição “local” proporcional a(da parte de nuvem dentro de ) e uma contribuição originada da massa do planeta (que está toda dentro). -
Para
:
massa total é, então
Passo 5
Potencial
para
(fora): usamos
. Para
o campo é o de uma massa pontual
, então
ou explicitamente
Passo 6
Potencial
para
. Fazemos a integral por partes: integrar do infinito até
(região externa) e depois de
até
(região interna à nuvem).
-
Primeiro trecho (∞ até
) dá . -
Segundo trecho (
até , com ) usamos o campo da região intermediária:
Então
Calculando a integral:
Colocando tudo e simplificando (usar
) obtemos, após simplificação,
Observação: essa expressão é algebraicamente equivalente à expressão obtida somando potenciais de cada componente (planeta + porção interna da nuvem), e resultará negativa para densidades positivas na maioria dos casos, conforme esperado.
Passo 7
Potencial
para
. Podemos usar continuidade em
e integrar o campo dentro do planeta, ou somar potenciais das partes (planeta + nuvem). Vou fazer pela soma (mais direta didaticamente):
- Potencial devido ao planeta (esfera uniforme) em
é a fórmula conhecida (pode-se obter por integração direta do campo do interior):
Substituindo
resulta
- Potencial devido à nuvem numa posição
: cada casca da nuvem está toda fora do ponto, e a contribuição de uma casca de raio é ; integrando entre e obtemos uma constante (independente de ):
Somando:
Essa forma é equivalente à que se obtém integrando o campo desde o infinito passando por todas as camadas.
Passo 8
Verificação de continuidade de
em
e
.
-
Em
: Valor vindo da região externa (): Valor vindo da expressão da região intermédia () ao tomar : Simplificando o primeiro termo dáe somando o termo com recupera exatamente . Logo é contínua em . -
Em
: Valor vindo de dentro () usando a expressão para : Valor vindo da região intermédia () usando a expressão do passo 6 com dá exatamente o mesmo (ao colocar e simplificar), portanto é contínua em .
Conclusão: a função
obtida é contínua nas fronteiras
e
, como pedido.