Uma fonte CA (de perfil senoidal) fornece uma tensão alternada de frequẽncia \mathrm{f}=60 \mathrm{~Hz} a um resistor de resistência \mathrm{R}=5,2 \mathrm{k} \Omega. Qual é a potência média dissipada pelo resistor se a amplitude da tensão é de 3,9 \mathrm{~V}.
Resposta: □

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado e o que é pedido:
  • Frequência: \mathrm{f}=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Resistência do resistor: \mathrm{R}=5{,}2\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Amplitude (valor de pico) da tensão senoidal: \mathrm{V_m}=3{,}9\\ \mathrm{V}.
  • Pergunta: determinar a potência média dissipada pelo resistor (ou seja, a potência média ao longo de um ciclo inteiro).

Passo 2

Entendendo a forma da tensão e as variáveis: a fonte é senoidal, então a tensão instantânea pode ser escrita como
v(t)=\mathrm{V_m}\sin(\omega t),
onde:
  • \mathrm{V_m} é a amplitude (valor de pico) da tensão, no nosso caso \mathrm{V_m}=3{,}9\\ \mathrm{V};
  • \omega é a frequência angular, \omega=2\pi \mathrm{f}, com \mathrm{f}=60\\ \mathrm{Hz}. Observação: a frequência aparece aqui para completar a descrição da onda, mas para calcular a potência média com uma onda senoidal conhecida a amplitude basta — a dependência em \omega não entra no resultado final porque faremos média ao longo de um período.

Passo 3

Fórmula da potência instantânea em um resistor e definição de potência média:
  • A potência instantânea dissipada no resistor é dada por
p(t)=\frac{v^2(t)}{\mathrm{R}}.
Isto vem da lei de Ohm e da definição de potência p=v\cdot i com i=v/\mathrm{R}, então p=v\cdot(v/\mathrm{R})=v^2/\mathrm{R}.
  • A potência média ao longo de um período T é a média temporal de p(t):
P_{\text{média}}=\frac{1}{T}\int_0^T p(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{v^2(t)}{\mathrm{R}}\,dt.é

Passo 4

Usando a forma senoidal e a identidade trigonométrica para fazer a integral:
Substituindo v(t)=\mathrm{V_m}\sin(\omega t) em p(t),
p(t)=\frac{\mathrm{V_m}^2\sin^2(\omega t)}{\mathrm{R}}.
Portanto
P_{\text{média}}=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{\mathrm{V_m}^2\sin^2(\omega t)}{\mathrm{R}}\,dt =\frac{\mathrm{V_m}^2}{\mathrm{R}}\cdot\frac{1}{T}\int_0^T \sin^2(\omega t)\,dt.é
Agora usamos que a média de \sin^2 ao longo de um período é 1/2:
\frac{1}{T}\int_0^T \sin^2(\omega t)\,dt=\frac{1}{2}.
Logo
P_{\text{média}}=\frac{\mathrm{V_m}^2}{\mathrm{R}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{V_m}^2}{2\mathrm{R}}.é
Observação alternativa (útil na prova): definimos a tensão eficaz (RMS) como
\mathrm{V_{rms}}=\frac{\mathrm{V_m}}{\sqrt{2}},
e então a potência média pode ser escrita como
P_{\text{média}}=\frac{\mathrm{V_{rms}}^2}{\mathrm{R}}.é
As duas formas são equivalentes.

Passo 5

Aplicando os números dados:
  • Primeiro convertemos a resistência para ohms:
\mathrm{R}=5{,}2\\ \mathrm{k}\Omega=5200\\ \Omega.
  • Calculamos \mathrm{V_m}^2:
\mathrm{V_m}^2=(3{,}9)^2=15{,}21\\ \mathrm{V}^2.
  • Usando a fórmula \displaystyle P_{\text{média}}=\frac{\mathrm{V_m}^2}{2\mathrm{R}}é:
P_{\text{média}}=\frac{15{,}21}{2\cdot 5200}=\frac{15{,}21}{10400}.é
  • Fazendo a divisão:
P_{\text{média}}=0{,}0014625\\ \mathrm{W}.é
  • Em miliwatts:
P_{\text{média}}=1{,}4625\\ \mathrm{mW}.é
Arredondando sensivelmente (duas casas decimais em mW ou três algarismos significativos):
P_{\text{média}}\approx1{,}46\\ \mathrm{mW}.é

Passo 6

Verificação rápida pelo caminho RMS: \mathrm{V_{rms}}=\dfrac{3{,}9}{\sqrt{2}}\approx2{,}758\\ \mathrm{V}. Então
P_{\text{média}}=\frac{\mathrm{V_{rms}}^2}{\mathrm{R}}=\frac{(2{,}758)^2}{5200}\approx\frac{7{,}605}{5200}=0{,}0014625\\ \mathrm{W},é
mesmo valor obtido antes — ótima consistência.

Resposta

1{,}46\\ \mathrm{mW}

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