. (Symon 2.18) Uma partícula de massa m está sujeita à ação de uma força
F=-k x+k x^{3} / a^{2},
onde k e a são constantes.
a). Determine o potencial U(x) e discuta os possíveis tipos de movimento que possam ocorrer.
b). Mostre que se E=k a^{2} / 4, a integral
\sqrt{\frac{m}{2}} \int_{x_{0}}^{x} d x / \sqrt{E-U(x)}=t-t_{0}
pode ser resolvida por métodos elementares. Determine x(t) para este caso, escolhendo x_{0} and t_{0} de maneira conveniente. Mostre que seus resultados concordam com a discussão qualitativa do item (a) para a energia.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m sujeita à força unidimensional
F(x) = -k\,x + \frac{k}{a^{2}}\,x^{3}
com k>0 e a>0. O conteúdo principal é mecânica clássica de uma dimensão, em particular energia potencial e análise qualitativa do movimento. Precisaremos (i) determinar o potencial U(x) tal que F(x)=-dU/dx e (ii) discutir tipos de movimento para diferentes energias E. Depois, no caso especial E=k a^{2}/4, resolver a integral do tempo
\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_{0}}^{x}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}=t-t_{0}
por métodos elementares.

Passo 2

Para achar o potencial, escrevemos
F(x) = -\frac{dU}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dU}{dx} = k\,x - \frac{k}{a^{2}}\,x^{3}.
Integrando em x e escolhendo U(0)=0, obtemos
U(x) = \int_{0}^{x}\Bigl(k\,x' - \frac{k}{a^{2}}\,x'^{3}\Bigr)\,dx' = \frac{k}{2}\,x^{2} \;-\;\frac{k}{4\,a^{2}}\,x^{4}.

Passo 3

Analisamos agora os pontos críticos e o formato de U(x):
U'(x)=0\;\Longleftrightarrow\;k\,x - \frac{k}{a^{2}}\,x^{3}=0 \;\Longrightarrow\;x=0,\;\pm a.
Calculemos a concavidade:
U''(0)=k>0\quad\text{(mínimo em \(x=0\), estável)},\qquad U''(\pm a)=k-3k=-2k<0\quad\text{(máximos em \(\pm a\), instáveis)}.íááá
Além disso, para \lvert x\rvert\to\infty, o termo -kx^{4}/(4a^{2}) domina e faz U(x)\to -\infty.
Dessa forma, se E<U(\pm a)=k a^{2}/4, existem dois regiões de movimento desconectadas:
  • Uma região interna em torno de x=0, onde ocorre oscilação ligada entre as raízes de U(x)=E.
  • Uma região externa em \lvert x\rvert grande, onde o potencial decai e o movimento é não ligado (escapa para \pm\infty).
Se E=k a^{2}/4, a partícula atinge os pontos \pm a com v=0 mas demora um tempo infinito para alcançá-los (separatriz). Para E>k a^{2}/4, não há barreira e o movimento é não ligado, escapando para \pm\infty.

Passo 4

Agora tomamos E=k a^{2}/4 e montamos a integral do tempo com condição conveniente x_{0}=0 em t_{0}=0. Temos
E - U(x) = \frac{k\,a^{2}}{4} \;-\;\Bigl(\frac{k}{2}x^{2}-\frac{k}{4a^{2}}x^{4}\Bigr) = \frac{k}{4a^{2}}\bigl(a^{2}-x^{2}\bigr)^{2}.
Então
\sqrt{E-U(x)} = \frac{\sqrt{k}}{2a}\,\bigl(a^{2}-x^{2}\bigr).
A integral fica
\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{0}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{E-U(x')}} = \sqrt{\frac{m}{2}}\int_{0}^{x}\frac{2a}{\sqrt{k}}\frac{dx'}{a^{2}-{x'}^{2}} = t.

Passo 5

O integrando é
\int\frac{dx'}{a^{2}-{x'}^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\!\biggl|\frac{a+x'}{a-x'}\biggr| + C.
Assim,
t = \sqrt{\frac{m}{2}}\;\frac{2a}{\sqrt{k}}\;\frac{1}{2a} \;\ln\!\Bigl|\frac{a+x}{a-x}\Bigr| = \sqrt{\frac{m}{2k}}\;\ln\!\Bigl(\frac{a+x}{a-x}\Bigr),
onde, para \lvert x\rvert< a, não precisamos de valor absoluto.

Passo 6

Invertendo para x em função de t, definimos
\Lambda = \exp\!\bigl(t\sqrt{\tfrac{2k}{m}}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{a+x}{a-x}=\Lambda \;\Longrightarrow\; x = a\,\frac{\Lambda-1}{\Lambda+1}.
Reconhecendo a função hiperbólica, escrevemos
x(t) = a\,\operatorname{tanh}\!\bigl(t\sqrt{\tfrac{k}{2m}}\bigr).

Passo 7

Esse x(t) satisfaz
\lim_{t\to-\infty}x(t)=-a, \qquad \lim_{t\to+\infty}x(t)=+a,
mostrando que a partícula parte de x=-a em t=-\infty, passa por x=0 em t=0 e alcança x=+a apenas quando t\to+\infty. Isso é exatamente o comportamento de separatriz previsto qualitativamente no item (a) para E=ka^{2}/4.

Resposta

x(t) = a\,\operatorname{tanh}\!\bigl(t\sqrt{\tfrac{k}{2m}}\bigr).

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