. Uma partícula de massa
, inicialmente em repouso, tem movimento unidimensional sujeito a uma força resultante
, onde
e
são constantes.
a) Encontre a posição e a velocidade como função do tempo.
b) Dos resultados de (a), expresse a força como função da velocidade. Assuma que essa força descreve o movimento de queda uma bola, largada do repouso, em um fluido viscoso. Determine qual deve ser as expressões das constantes
e
para esse caso, em termos da aceleração da gravidade
e da velocidade terminal da bola, definida como
. Escreva a força em termos de
.
a) Encontre a posição e a velocidade como função do tempo.
b) Dos resultados de (a), expresse a força como função da velocidade. Assuma que essa força descreve o movimento de queda uma bola, largada do repouso, em um fluido viscoso. Determine qual deve ser as expressões das constantes
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa
, inicialmente em repouso, sofre uma força resultante unidimensional
com
e
constantes. Pela segunda lei de Newton,
Vamos primeiro encontrar
integrando essa equação, depois obter
integrando
. Em seguida, eliminamos
para escrever
em função de
e aplicamos ao caso de uma bola caindo em fluido viscoso, onde a força resultante é
.
Passo 2
Integramos
separando variáveis e integrando de 0 a
:
O lado direito dá
Logo
Passo 3
Para obter
, integramos
de 0 a
:
Calculando
temos
Passo 4
Queremos
em função de
. Da expressão de
isolamos
:
Substituindo em
, obtemos
Passo 5
No caso da bola caindo em fluido viscoso temos força resultante
onde
é o coeficiente de arrasto. Comparando com
, vemos que
Passo 6
A velocidade terminal é
Como
, podemos reescrever
em termos de
: