. Uma partícula de massa m, inicialmente em repouso, tem movimento unidimensional sujeito a uma força resultante F(t)=a e^{-b t}, onde a e b são constantes.
a) Encontre a posição e a velocidade como função do tempo.
b) Dos resultados de (a), expresse a força como função da velocidade. Assuma que essa força descreve o movimento de queda uma bola, largada do repouso, em um fluido viscoso. Determine qual deve ser as expressões das constantes a e b para esse caso, em termos da aceleração da gravidade g e da velocidade terminal da bola, definida como v_{t}=\lim _{t \rightarrow \infty} v(t). Escreva a força em termos de v_{t}.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m, inicialmente em repouso, sofre uma força resultante unidimensional
F(t)=a e^{-b t},
com a e b constantes. Pela segunda lei de Newton,
m\frac{dv}{dt}=F(t).
Vamos primeiro encontrar v(t) integrando essa equação, depois obter x(t) integrando v(t). Em seguida, eliminamos t para escrever F em função de v e aplicamos ao caso de uma bola caindo em fluido viscoso, onde a força resultante é mg-kv.

Passo 2

Integramos
m\frac{dv}{dt}=a e^{-b t}
separando variáveis e integrando de 0 a t:
\int_{0}^{v(t)}\!m\,dv = \int_{0}^{t}\!a\,e^{-b\tau}\,d\tau.
O lado direito dá
\int_{0}^{t}a\,e^{-b\tau}\,d\tau = \frac{a}{-b}\bigl[e^{-b\tau}\bigr]_{0}^{t} = \frac{a}{b}\bigl(1 - e^{-b t}\bigr).
Logo
m\,v(t)=\frac{a}{b}\bigl(1 - e^{-b t}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad v(t)=\frac{a}{m b}\bigl(1 - e^{-b t}\bigr).

Passo 3

Para obter x(t), integramos v(t) de 0 a t:
x(t)=\int_{0}^{t}v(\tau)\,d\tau =\frac{a}{m b}\int_{0}^{t}\bigl(1 - e^{-b\tau}\bigr)\,d\tau.
Calculando
\int_{0}^{t}(1 - e^{-b\tau})\,d\tau = t + \frac{e^{-b t}-1}{b},
temos
x(t) =\frac{a}{m b}\Bigl(t + \frac{e^{-b t}-1}{b}\Bigr) =\frac{a}{m b}\,t+\frac{a}{m b^2}\bigl(e^{-b t}-1\bigr).

Passo 4

Queremos F em função de v. Da expressão de v(t) isolamos e^{-b t}:
v(t)=\frac{a}{m b}\bigl(1 - e^{-b t}\bigr) \;\Longrightarrow\; e^{-b t}=1-\frac{m b}{a}\,v.
Substituindo em F(t)=a e^{-b t}, obtemos
F(v)=a\Bigl(1-\frac{m b}{a}\,v\Bigr) =a - m b\,v.

Passo 5

No caso da bola caindo em fluido viscoso temos força resultante
F(v)=mg - k\,v,
onde k é o coeficiente de arrasto. Comparando com F(v)=a - m b\,v, vemos que
a=mg, \quad m b = k.

Passo 6

A velocidade terminal é
v_t=\lim_{t\to\infty}v(t) =\frac{a}{m b} \;\Longrightarrow\; v_t=\frac{mg}{m b}=\frac{g}{b} \;\Longrightarrow\; b=\frac{g}{v_t}.
Como a=mg, podemos reescrever F(v) em termos de v_t:
F(v)=mg - m b\,v =mg - m\bigl(\tfrac{g}{v_t}\bigr)v =mg\Bigl(1-\frac{v}{v_t}\Bigr).

Resposta

v(t)=\frac{a}{m b}\bigl(1 - e^{-b t}\bigr),
x(t)=\frac{a}{m b}\,t+\frac{a}{m b^2}\bigl(e^{-b t}-1\bigr),
a=mg,\quad b=\frac{g}{v_t}, \quad F(v)=mg\Bigl(1-\frac{v}{v_t}\Bigr).

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