. Considere uma partícula que se move num campo de força cujo potencial é dado por
U(x)=-U_{0} \frac{a^{2}\left(a^{2}+x^{2}\right)}{8 a^{4}+x^{4}},
onde a e U_{0} são constantes.
a). Encontre a força F(x) a que está sujeita a partícula.
b). Encontre os pontos de equilíbrio e determine se eles são máximos e/ou mínimos.

Passo 1

O enunciado dá o potencial
U(x) = -U_{0}\,\frac{a^{2}\bigl(a^{2}+x^{2}\bigr)}{8\,a^{4}+x^{4}}
e pede: (a) a força F(x) sobre a partícula; (b) os pontos de equilíbrio e sua natureza.
Para (a) usamos a relação
F(x) = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}.
Para (b) resolvemos F(x)=0 e classificamos com o sinal de \mathrm{d}^{2}U/\mathrm{d}x^{2}.

Passo 2

Defina
N(x)=a^{2}\bigl(a^{2}+x^{2}\bigr)=a^{4}+a^{2}x^{2}, \quad D(x)=8\,a^{4}+x^{4}.
Então
U(x)=-U_{0}\,\frac{N(x)}{D(x)}.
Pelo quociente,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr) =\frac{N'\,D - N\,D'}{D^{2}},
onde
N'(x)=2\,a^{2}x, \quad D'(x)=4\,x^{3}.
Logo a força
F(x)=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} =U_{0}\,\frac{N'\,D - N\,D'}{D^{2}} =2\,U_{0}\,a^{2}\,x\, \frac{8\,a^{4}-2\,a^{2}x^{2}-x^{4}}{\bigl(8\,a^{4}+x^{4}\bigr)^{2}}.

Passo 3

Os pontos de equilíbrio satisfazem F(x)=0. Como o denominador nunca zera, basta zerar o numerador:
2\,a^{2}\,x\bigl(8\,a^{4}-2\,a^{2}x^{2}-x^{4}\bigr)=0.
Isto dá
x=0 \quad\text{ou}\quad 8\,a^{4}-2\,a^{2}x^{2}-x^{4}=0.
Fazendo y=x^{2}, obtemos
y^{2}+2\,a^{2}y-8\,a^{4}=0 \;\Longrightarrow\; y=2\,a^{2}\quad(\text{única raiz não negativa}),úã
logo
x=\pm a\sqrt{2}.

Passo 4

Para classificar usamos \mathrm{d}^{2}U/\mathrm{d}x^{2}=-F'(x).
  1. Em x=0 expandimos U(x) para pequenas x e achamos
U(x)\approx -\frac{U_{0}}{8}-\frac{U_{0}}{8\,a^{2}}\,x^{2}+\cdots
o que dá \mathrm{d}^{2}U/\mathrm{d}x^{2}\big|_{0}=-U_{0}/(4\,a^{2})<0. É então um máximo instável.
2. Em x=\pm a\sqrt{2} calculamos o sinal de
f'(x)\quad\text{onde}\quad F(x)\propto f(x)=x\bigl(8\,a^{4}-2\,a^{2}x^{2}-x^{4}\bigr).
Verifica-se f'(\pm a\sqrt{2})<0, logo \mathrm{d}^{2}U>0. São mínimos estáveis.

Resposta

(a)
F(x) =2\,U_{0}\,a^{2}\,x\, \frac{8\,a^{4}-2\,a^{2}x^{2}-x^{4}}{\bigl(8\,a^{4}+x^{4}\bigr)^{2}}.
(b) Pontos de equilíbrio: \;x=0 (máximo de U, instável) \;x=\pm a\sqrt{2} (mínimos de U, estáveis)

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